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| Aufgabe | Es sei [mm] (f_{n})_{n\in\IN}\subset V=C^{o}([a,b]) [/mm] eine Folge von Funktionen. Zeigen Sie
[mm] f_{n}\to [/mm] f bezgl. [mm] \parallel*\parallel_{[a,b]} \Rightarrow f_{n}\to [/mm] f bezgl. [mm] \parallel*\parallel_{2} [/mm]
Gilt die Umkehrung? |
kann mit diesr Aufgabe leider nichst anfangen.
Weiß weder, wie ich das beweisen soll, noch wie die Umkehrung funktionieren soll.
Bin leider total ratlos, hab schon in verschiedenen Büchern und auf Internetseiten nach hilfreichem gesucht, aber nirgens etwas sinnvolles/hilfreiches gefunden.
Würde mich riesig freuen, wenn ihr mir helfen könntet. bin total ratlos.
Bitte, helft mir.
VIELEN, Vielen DANK schonmal im Vorraus,
eure Spider
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 23.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> kann mit diesr Aufgabe leider nichst anfangen.
Also du Hast eine Funktionenfolge [mm] $f_n$, [/mm] die für jedes $n$ stetig auf $[a,b]$ ist. Jetzt schaust du dir die Grenzfunktion [mm] $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ [/mm] für [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] an, und du weißt dass das bezüglich der Metrik [mm] $d(x,y):=\parallel x-y\parallel_{[a,b]}$ [/mm] immer klappt. Daraus sollst du folgern, dass auch [mm] $\tilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ [/mm] bezüglich der Metrik [mm] $\tilde{d}(x,y)=\parallel x-y\parallel_{2}$ [/mm] für jedes [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] existiert (die Funktionenfolge an der Stelle also konvergiert) und dass die Grenzwerte übereinstimmen, also [mm] $f(x)=\tilde{f}(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in[a,b]$.
[/mm]
Ich weiß leider nicht genau was diese Normen (die die Metriken induzieren) bedeuten, also wie sie definiert sind, aber das müsstest du ja eigentlich wissen.
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