Folge und Zangensatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 So 28.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe des Zangensatzes, dass die folgende Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
[mm] a_{n}=\wurzel[n]{1+n+n^{2}}
[/mm]
Hinweis: [mm] 1+n+n^{2}=n^{2}(\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n}+1) [/mm] |
Hallo.
Was sind meine Folgen [mm] a_n, b_n [/mm] und [mm] c_n? [/mm] Mir fehlt hier völlig der Ansatz. :(
Wenn ich den "Hinweis" benutze und den Term einsetze (den schreiben sie ja nicht zum Spaß aufs Aufgabenblatt, oder?), bekomme ich:
[mm] a_n=\wurzel[n]{n^2*(\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n}+1)}=\wurzel[n]{n^2}*\wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n}+1}=\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n}+1}
[/mm]
Falls das soweit richtig ist, bringt mir das überhaupt irgendetwas?
Ich bitte um Tipps zur genauen Vorgehensweise. Bin wirklich ratlos..
Da "Zangensatz" anscheinend kein geläufiger Begriff ist (an den Google-Treffern gemessen), hier ein kurzes Zitat aus meiner Mitschrift:
---
Gilt [mm] a_{n} \to [/mm] a, [mm] b_{n} \to [/mm] b und [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n}, [/mm] so folgt [mm] c_{n} \to [/mm] a.
Insbesondere konvergiert [mm] (c_{n})_{n} [/mm] überhaupt.
---
(Ich hoffe es nimmt mir niemand übel, dass ich hier neuerdings so viele Fragen in so kurzer Zeit stelle. Habe gerade ziemliche Schwierigkeiten, in die Materie hineinzufinden.)
Gruß,
Paul.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch ohne den Hinweis !
$1 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{3*n^2}= \wurzel[n]{3}*(\wurzel[n]{n})^2$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 28.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo Fred -- danke, dass du geantwortet hast.
Jedoch hilft mir das gerade überhaupt nicht weiter.
Vielleicht magst du mir erklären, wie du auf diesen Ausdruck gekommen bist?
Gruß,
Paul.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred -- danke, dass du geantwortet hast.
> Jedoch hilft mir das gerade überhaupt nicht weiter.
> Vielleicht magst du mir erklären, wie du auf diesen
> Ausdruck gekommen bist?
>
> Gruß,
> Paul.
Die Ungl. 1 [mm] \le a_n [/mm] dürfte klar sein
Weiter ist [mm] $1+n+n^2 \le n^2+n^2+n^2=3n^2$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 28.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Jau, dass [mm] a_n \le [/mm] 1 ist, ist klar.
Aber woher hast du denn die [mm] 3n^2 [/mm] ??
Ich wiederhole nochmal, ich bin in diesem Thema noch sehr wackelig und kenne höchstens ein paar Grundlagen. :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 28.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Och nö. Ich hab mich verlesen.
NEIN, es ist nicht klar, warum 1 [mm] \le a_n [/mm] ist. :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 28.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Für den Term [mm]1+n+n^2[/mm] gilt für jeden Einzelsummand:
[mm]1 \ \le \ 1 \le \ n^2[/mm]
[mm]1 \ \le \ n \ \le \ n^2[/mm]
[mm]1 \ \le \ n^2 \ \le \ n^2[/mm]
Damit folgert auch:
[mm]1 \ \le \ 1+1+1 \ = \ 3 \le \ 1+n+n^2 \ \le \ n^2+n^2+n^2 \ = \ 3*n^2[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 28.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Vielen Dank für die Antwort! Deine Vorgehensweise verstehe ich. Jedoch bin ich nun etwas verwirrt; das hat doch nun nichts mit dem "Zangensatz" (wie nennt man das "richtig"?) zu tun, oder?
Der gilt ja nur, falls [mm] a_n=3 [/mm] und [mm] b_n=3n^2 [/mm] gegen den selben Grenzwert a konvergieren (siehe 1. Post). Und das ist hier ja nicht der Fall. (Oder?)
Ich hoffe, ihr stempelt mich nicht als Idiot ab. :P Ich probiere hier seit 2h herum, aber bin im Grunde immer noch kein Stück weiter.
Vielleicht hat jemand eine Checkliste zum genauen Vorgehen bei einem solchen Problem? Ich weiß es wirklich nicht, möchte es aber verstehen lernen!
|
|
|
| |
|
Huhu,
bisher wurde ja auch nicht die Folge an sich abgeschätzt, sondern nur der Term unter der Wurzel.
Das tolle ist jetzt.
Es gilt [mm] \sqrt[n]{1} \to [/mm] 1 sowie [mm] \sqrt[n]{3n^2} \to [/mm] 1 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Was steht dann da zusammengefasst?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
>
> bisher wurde ja auch nicht die Folge an sich abgeschätzt,
doch hier: https://matheraum.de/read?i=742156
FRED
> sondern nur der Term unter der Wurzel.
>
> Das tolle ist jetzt.
>
> Es gilt [mm]\sqrt[n]{1} \to[/mm] 1 sowie [mm]\sqrt[n]{3n^2} \to[/mm] 1 für
> [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Was steht dann da zusammengefasst?
>
> MFG,
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Jau, dass [mm]a_n \le[/mm] 1 ist, ist klar.
>
> Aber woher hast du denn die [mm]3n^2[/mm] ??
Hab ich doch klar und deutlich geschrieben:
$ [mm] 1+n+n^2 \le n^2+n^2+n^2=3n^2 [/mm] $
FRED
>
> Ich wiederhole nochmal, ich bin in diesem Thema noch sehr
> wackelig und kenne höchstens ein paar Grundlagen. :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Mo 29.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Oh mann.
Ja, ich SEHE, dass du aus [mm] n^2+n^2+n^2 [/mm] die [mm] 3n^2 [/mm] gemacht hast.
Das heißt nicht, dass ich zum Zeitpunkt des betreffenden Posts wusste, woher in erster Linie die [mm] n^2+n^2+n^2 [/mm] kommen.
Danke euch allen für die Kommentare, hat trotz eurer Hilfe leider nicht geklappt mit der Aufgabe. Naja, nächstes mal dann. ;)
Einen schönen Morgen noch,
Paul.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Oh mann.
>
> Ja, ich SEHE, dass du aus [mm]n^2+n^2+n^2[/mm] die [mm]3n^2[/mm] gemacht
> hast.
> Das heißt nicht, dass ich zum Zeitpunkt des betreffenden
> Posts wusste, woher in erster Linie die [mm]n^2+n^2+n^2[/mm]
> kommen.
>
> Danke euch allen für die Kommentare, hat trotz eurer Hilfe
> leider nicht geklappt mit der Aufgabe.
Was ist los ? Oben steht doch alles !!
FRED
> Naja, nächstes mal
> dann. ;)
>
> Einen schönen Morgen noch,
> Paul.
|
|
|
|
