Folge und Induktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Mi 18.04.2007 | | Autor: | mimi1310 |
| Aufgabe | | Zu Beginn haben wir ein Quadrat und zerschneiden dieses in vier kleinere Quadrate, danach zerschneiden wir eines der Quadrate wieder in 4 kleinere Quadrate, und so weiter und so fort. Zeigen Sie, dass die Anzahl aller Quadrate zu einem beliebigen Zeitpunkt dieses Vorgangs immer der Form 3m+1 für eine ganze Zahl m entspricht. |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe leider gar keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Wäre lieb wenn mir das wer erklären könnte.
Lg
Miriam
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 18.04.2007 | | Autor: | statler |
> Zu Beginn haben wir ein Quadrat und zerschneiden dieses in
> vier kleinere Quadrate, danach zerschneiden wir eines der
> Quadrate wieder in 4 kleinere Quadrate, und so weiter und
> so fort. Zeigen Sie, dass die Anzahl aller Quadrate zu
> einem beliebigen Zeitpunkt dieses Vorgangs immer der Form
> 3m+1 für eine ganze Zahl m entspricht.
Guten Morgen Miriam!
> Ich habe leider gar keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Die vollständige Induktion müßtet ihr schon behandelt haben (schließe ich aus dem Diskussionsthema). Dann fang mal an: Wie viele Quadrate habe ich zu Anfang? Ist das eine Zahl der gesuchten Form?
Und der Ind.-schluß: Was passiert, wenn ich 3m+1 Quadrate habe und davon eines in vier zerlege? Wie viele habe ich hinterher?
Leg los
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 18.04.2007 | | Autor: | bobie |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe auch bearbeiten und kann mit den bisherigen Tipps leider noch nicts anfangen. Was beschreibt das m? Was kann ich dafür einsetzen?
|
|
|
| |
|
> Was beschreibt
> das m? Was kann ich dafür einsetzen?
Hallo,
kannst Du Dir den Vorgang des Quadrateschnippeln denn vorstellen?
Mach es doch einfach mal mit Schere und Papier - aber erst, wenn Du zu Ende gelesen hast.
Die Aussage:
Wenn Du Dir nach einem Schnippelvorgang die Quadrate vor Dir anguckst, hast Du immer soviele, daß beim Dividieren durch drei eins übrig bleibt.
Das sagt 3m+1.
Nun kannst Du schnippeln und die Aussage empirisch prüfen.
Zum Beweis: wie gesagt läuft der über vollständige Induktion.
Du prüfst, ob die Aussage gilt für n=0, also wenn Du noch keinen Schnippelvorgang durchgeführt hast. Wieviele Quadrate hast Du da?
Nun gehst Du davon aus, daß die Aussage für eine beliebige Anzahl n von Schnippelvorgängen stimmt, daß man also stets ein m findet mit A(n)=3m+1. (A(n):=Anzahl der Quadrate nach n Schneidevorgängen)
Jetzt zeigst Du die Gültigkeit der Aussage für n+1, berechnst also A(n+1).
Nun - nach n Schnippelvorgängen hast Du lt. Induktionsvoraussetzung 3m+1 Quadrate.
Wenn Du jetzt wieder schneidest, liegen wieviele vor Dir?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
