Folge monoton und beschränkt? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge monton und beschränkt ist. Wie heißt der Grenzwert?
n > [mm] \bruch{5n - 1}{3n + 1} [/mm]
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Guten Abend zusammen,
also der Grenzwert müsste nach meiner Rechnung = 5/3 sein.
Aber ich komm nicht darauf, wie ich zeigen soll, dass die Folge monoton und beschränkt ist?
Wäre super, wenn Ihr mir kurz helfen könntet...
Dankeschön und nen schönen Abend!!
Gruß Stefan
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 02.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
Sorry, dass mit der richtigen Darstellung von Brüchen hat irgendwie net funktioniert. Hoffe ihr könnt die Folge trotzdem erkennen. Danke und Grüße!
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Ich vermute mal du meinst
[mm]a_{n} = \bruch{5*n-1}{3*n+1}[/mm].
Den Grenzwert hast du richtig berechnet. Um zu zeigen, dass die Folge monoton ist, untersuche folgende Differenz:
[mm]a_{n+1} - a_{n}[/mm]
Wenn diese für alle n größer 0 bzw. kleiner 0 ist, so ist die Folge monoton.
Es gilt: Ist
[mm]a_{n+1} - a_{n} > 0[/mm]
so ist die Funktion monoton wachsend. Warum? Obige Aussage ist äquivalent zu
[mm]\gdw a_{n+1} > a_{n}[/mm]
was gerade aussagt dass ein "späteres" Folgenglied einen höheren Wert hat als ein "früheres" Folgenglied. (Dies wird bei dir der Fall sein) Ist dagegen stets
[mm]a_{n+1} - a_{n} < 0[/mm],
so ist die Folge monoton fallend.
Zum Nachweisen der Ungleichungen musst du links den Hauptnenner aus den beiden Brüchen bilden und die Brüche subtrahieren. Beim Ergebnis musst du Zähler und Nenner getrennt auswerten. Erkennt man so: Für n > 0 ist der Nenner immer positiv und der Zähler immer positiv, so ist auch der gesamte Bruch immer positiv. Die anderen 3 Möglichkeiten kannst du sicher auch selbst herleiten.
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Beschränktheit weist du nach, indem du obere bzw. untere, feste Schranken findest, über die die Funktion nicht hinauswächst.
In deinem Beispiel ist dir nun bekannt, dass die Folge monoton wachsend ist. Dadurch ist sie automatisch durch das erste Folgenglied nach unten beschränkt (Weil ja alle anderen Folgenglieder größer sind als das erste). Du musst also lediglich noch eine obere Schranke finden.
Wähle zum Beispiel 1000 als obere Schranke und weise nach, dass die Folge nie größer wird als dieser Wert, und zwar indem du die Ungleichung
[mm]a_{n} < 1000[/mm].
zeigst. Ziel ist es hier, eine eindeutig erkennbare wahre Aussage wie "1<2" oder "-8 <n" zu erhalten.
Dann hast du gezeigt, dass die Folge nach oben durch einen festen Wert beschränkt ist.
--> Ein Grenzwert existiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 02.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
| Aufgabe | $ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5\cdot{}n-1}{3\cdot{}n+1} [/mm] $
$ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] $
$ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5\cdot{}n-1+1}{3\cdot{}n+1+1} [/mm] $
$ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5\cdot{}n}{3\cdot{}n+2} [/mm] $
$ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5}{5} [/mm] $
dann subrahier ich dies mit An (=1) dann bekomm ich 0 raus. das ist doch falsch, oder?
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Hallo Steppenhahn,
erstmal dankeschön für deine sehr ausführliche Antwort.
Mir ist es jetzt soweit klar. Nur ich mit der Rechnung noch nicht ganz klar.
Könntest du vielleicht die o.g. Rechenschritte prüfen? Wäre super!
Danke und viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Da ist mir leider unklar, was Du da gerechnet hast ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm] $$a_{n+1}-a_n$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5*(n+1)-1}{3*(n+1)+1}-\bruch{5n-1}{3n+1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5n+4}{3n+4}-\bruch{5n-1}{3n+1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{(5n+4)*(3n+1)}{(3n+4)*(3n+1)}-\bruch{(5n-1)*(3n+4)}{(3n+1)*(3n+4)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{(5n+4)*(3n+1)-(5n-1)*(3n+4)}{(3n+1)*(3n+4)}$$
[/mm]
Nun mal die Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:56 Mi 02.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
Danke Loddar, aber warum schreibst du oben -1 ?
Ich es heißt $ [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] $ ?
Danke und viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Meinst Du jeweils im Nenner? Das habe ich nunmehr korrigert ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 03.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
So, nach einem langen Arbeitstag ist nun wieder Mathe angesagt... *g*
$ = \ [mm] \bruch{5\cdot{}(n+1)-1}{3\cdot{}(n+1)+1}-\bruch{5n-1}{3n+1} [/mm] $
Ja genau, im linken Bruch im Zähler steht hinter der Klammer -1 ? Ich dachte die Formel heißt An + 1 < An. Komm ich nicht drauf, ist aber sicher nicht schwer.
Wäre super, danke und Grüße!
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> So, nach einem langen Arbeitstag ist nun wieder Mathe
> angesagt... *g*
>
> [mm]= \ \bruch{5\cdot{}(n+1)-1}{3\cdot{}(n+1)+1}-\bruch{5n-1}{3n+1}[/mm]
>
> Ja genau, im linken Bruch im Zähler steht hinter der
> Klammer -1 ? Ich dachte die Formel heißt An + 1 < An. Komm
> ich nicht drauf, ist aber sicher nicht schwer.
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Dich richtig verstehe.
Wenn ich die aktuelle Lage richtig überblicke, möchtest Du zeigen, daß die Folge monoton ist.
Ist sie monoton wachsend, so gilt für alle [mm] n\in \IN: a_{n+1}>a_n [/mm] <==> [mm] a_{n+1}-a_n>0,
[/mm]
Ist sie monoton fallendend, so gilt für alle [mm] n\in \IN: a_{n+1}
Dies soll jetzt ausgerechnet werden, indem das n-te Folgenglied vom (n+1)-te Folgenglied subtrahiert wird:
[mm] a_{n+1}-a_n [/mm] = \ [mm] \bruch{5\cdot{}(n+1)-1}{3\cdot{}(n+1)+1}-\bruch{5n-1}{3n+1} [/mm] =...
Hier mußt Du nun weiterrechnen und abschätzen.
Ich würde wohl erstmal Klammern auflösen, beide Brüche auf den Hauptnenner und dann einen gemeinsamen Bruchstrich bringen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 03.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
eine Folge in der Notation [mm] $a_n=...$ [/mm] ist nur eine andere Notation für eine Funktion $a: [mm] \IN \to [/mm] ...$, wobei [mm] $a_n:=a(n)$.
[/mm]
Wenn Du z.B. [mm] $a_n=\frac{2}{n}*n^n$ [/mm] hast, so bedeutet [mm] $a_{n+1}$ [/mm] nichts anderes als $a(n+1)$, d.h. dort muss JEDES $n$ durch $n+1$ ersetzt werden. Hier wäre also
[mm] $a_{\blue{n+1}}=\frac{2}{\blue{(n+1)}}*\blue{(n+1)}^\blue{(n+1)}$, [/mm] bzw. wenn man unnötige Klammern wegläßt:
[mm] $a_{n+1}=\frac{2}{n+1}*(n+1)^{n+1}$
[/mm]
Und bei Dir war halt
[mm] $a_n=a(n)=\bruch{5n - 1}{3n + 1}$ [/mm]
[mm] $a_{n+1}$ [/mm] erhälst Du nun, indem Du "JEDES" $n$ durch $n+1$ ersetzt:
Beachte dabei, dass Punkt vor Strichrechnung gilt, d.h. Du machst nie etwas falsch, wenn Du um das $(n+1)$ eine Klammer setzt, aber Du machst hier z.B. etwas falsch, wenn Du sie nicht setzt:
[mm] $a_{n+1}=\frac{5*\blue{(n+1)}-1}{3*\blue{(n+1)}+1}$
[/mm]
(Auch mal zum testen und vergleichen:
[mm] $a_{10}=a_{9+1}$, [/mm] und es gilt:
[mm] $a_{10}=\frac{5*10-1}{3*10+1}=\frac{5*(9+1)-1}{3*(9+1)-1}=a_{9+1}$.)
[/mm]
Und bei Loddar steht dort oben einfach nur:
[mm] $a_{n+1}-a_n=\frac{5*\blue{(n+1)}-1}{3*\blue{(n+1)}+1}-\bruch{5n - 1}{3n + 1}$
[/mm]
und wie Angela schon geschrieben hat, solltest Du nun herausfinden, ob stets [mm] $a_{n+1}-a_n \le [/mm] 0$ ist (denn: genau dann ist die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend; wenn anstelle des [mm] $\le$ [/mm] dort sogar $<$ steht, ist sie sogar streng monoton fallend) oder [mm] $a_{n+1}-a_n \ge [/mm] 0$ ist (denn: genau dann ist die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend; steht dort anstelle von [mm] $\ge [/mm] $ sogar $>$, ist sie streng monoton wachsend).
Es kann sein, dass Angela meinen Begriff von "monoton wachsend" im Sinne von meinem Begriff für "streng monoton wachsend" benutzt und dann für das von mir erwähnte "monoton wachsend" eine andere Bezeichnung benutzt. Nur, falls Du Dich daran störst, dass Angela bei [mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] sagt, die Folge sei monoton fallend, ich sage in diesem Falle halt, dass sie streng fällt (womit sie insbesondere auch - in meinem Bezeichnungs-Sinne - monoton fallend ist).
P.S.:
Ein banales Beispiel, andem Du Dir das klarmachen kannst, dass man bei dem Folgeglied [mm] $b_{n+1}$ [/mm] einer Folge jedes $n$ durch $n+1$ ersetzen und das Klammern sollte:
[mm] $b_n:=2*n-1$
[/mm]
Wie sieht die Folge aus? [mm] $b_1=1$, $b_2=3$, $b_3=5$,...
[/mm]
Wenn Du [mm] $b_{n+1}$ [/mm] berechnest, so musst Du schreiben:
[mm] $b_{n+1}=2*(n+1)-1$
[/mm]
Teste mal [mm] $b_{3}=b_{2+1}=2*(2+1)-1=5$, [/mm] passt.
Vergisst Du die Klammer und schreibst fälschlicherweise
[mm] $(\*)$ $b_{n+1}=2n+1-1=2n$
[/mm]
so sollte Dir schon der Unsinn alleine deswegen auffallen, weil [mm] $(b_n)_n$ [/mm] nur ungerade Zahlen annimmt, aber jede Zahl $2n$ gerade ist. Zudem wäre [mm] $b_3=5$, [/mm] aber nach [mm] $(\*)$ [/mm] wäre [mm] $b_3=6$. $(\*)$ [/mm] kann also nicht stimmen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 So 06.04.2008 | | Autor: | StefanTk |
Guten Morgen zusammen!
Vielen Dank für Eure super Hilfe. Ich habs kapiert...
Viele Grüße und noch nen schönen Sonntag!
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