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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{n} [/mm] eine in [mm] \IR [/mm] konvergente Folge mit Grenzwert x. Zeige, dass die Folge
[mm] y_{n}:= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}
[/mm]
ebenfalls gegen x konvergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle!
Zur Aufgabe oben hätte ich gerne einen Denkanstoß oder Tipp von euch, weil ich einfach nicht weiter komme.
Mein Ansatz ist zu zeigen, dass [mm] |y_{n} [/mm] - x| eine Nullfolge ist. Dazu habe ich folgendermaßen umgeformt:
[mm] |y_{n} [/mm] - x| = [mm] |\bruch{1}{n}* \bruch{x_{n}(x_{n}+1)}{2} [/mm] - x|
Aber weiter komme ich leider nicht. Ich weiß nicht wie ich mit den [mm] x_{n} [/mm] umgehen soll. Muss ich dort vielleicht eine Abschätzung vornehmen?
Vielen Lieben Dank
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> Sei [mm]x_{n}[/mm] eine in [mm]\IR[/mm] konvergente Folge mit Grenzwert x.
> Zeige, dass die Folge
> [mm]y_{n}:= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm]
> ebenfalls
> gegen x konvergiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo an alle!
> Zur Aufgabe oben hätte ich gerne einen Denkanstoß oder
> Tipp von euch, weil ich einfach nicht weiter komme.
> Mein Ansatz ist zu zeigen, dass [mm]|y_{n}[/mm] - x| eine Nullfolge
> ist. Dazu habe ich folgendermaßen umgeformt:
> [mm]|y_{n}[/mm] - x| = [mm]|\bruch{1}{n}* \bruch{x_{n}(x_{n}+1)}{2}[/mm] -
Die Idee ist sehr gut.
Betrachte lieber
[mm]|y_n-x|=|\sum_{i=1}^nx_i\quad -x|=|\sum_{i=1}^n(x_i-x)|\leq \ldots = \sum^N +\sum_{k=N+1}[/mm]
Darauf Dreiecksungleichung anwenden und die Summe aufspalten (Wegen der Konvergenz von [mm]x_n[/mm] gibt es ja ein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]|x_n-x|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N[/mm]).
> x|
>
> Aber weiter komme ich leider nicht. Ich weiß nicht wie ich
> mit den [mm]x_{n}[/mm] umgehen soll. Muss ich dort vielleicht eine
> Abschätzung vornehmen?
>
> Vielen Lieben Dank
PS: Achja ich will dir auch nicht verschweigen, dass diese Aufgabe auf den Namen "Cesàro-Mittel" hört.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
Gut, soweit kann ich dir noch Folgen.
Aber jetzt ist doch [mm] \sum_{k=N+1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und es bleibt noch die erste Summe bis N übrig...? Diese muss doch auch noch < [mm] \varepsilon [/mm] gebracht werden. Oder kann man hier ein anderes N [mm] \in \IN [/mm] wählen mit einem etwas groberen [mm] \varepsilon? [/mm] Ich denke aber nicht.
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erst Summe ist doch eine endliche summe und deshalb = einer zahl etwa M und was ist dann mit M/n für große n?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Do 05.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
Naja M/n läuft für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0, ist also eine Nullfolge.
Dann habe ich also für das erste Summenzeichen ab einem bestimmten [mm] N_{1} \in \IN [/mm] eine Nullfolge bzw. besser gesagt ist dann die Summe < [mm] \epsilon [/mm] und für das zweite Summenzeichen erhalte ich auch eine Summe < [mm] \epsilon [/mm] für ein bestimmtes [mm] N_{2} \in \IN.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Do 05.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]x_{n}[/mm] eine in [mm]\IR[/mm] konvergente Folge mit Grenzwert x.
> Zeige, dass die Folge
> [mm]y_{n}:= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm]
> ebenfalls
> gegen x konvergiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo an alle!
> Zur Aufgabe oben hätte ich gerne einen Denkanstoß oder
> Tipp von euch, weil ich einfach nicht weiter komme.
> Mein Ansatz ist zu zeigen, dass [mm]|y_{n}[/mm] - x| eine Nullfolge
> ist. Dazu habe ich folgendermaßen umgeformt:
> [mm]|y_{n}[/mm] - x| = [mm]|\bruch{1}{n}* \bruch{x_{n}(x_{n}+1)}{2}[/mm] -
> x|
Das ist doch Unsinn. Wie kommst Du denn auf sowas ?
FRED
>
> Aber weiter komme ich leider nicht. Ich weiß nicht wie ich
> mit den [mm]x_{n}[/mm] umgehen soll. Muss ich dort vielleicht eine
> Abschätzung vornehmen?
>
> Vielen Lieben Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Do 05.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
Ich habe die Gaußsche Summenformel angewendet, aber dass kann man deinem Beitrag zufolge bestimmt nicht auf Summen mit Folgen anwenden. Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 05.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Gaußsche Summenformel angewendet, aber dass
> kann man deinem Beitrag zufolge bestimmt nicht auf Summen
> mit Folgen anwenden. Richtig?
Du bist also der Meinung, dass gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i=\bruch{x_n(x_n+1)}{2}
[/mm]
für [mm] x_1,...,x_n \in \IR [/mm] ?
Das ist völliger Blödsinn,. Schon deswegwn, weil dann die Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i [/mm] nur von [mm] x_n [/mm] abhängen würde !
FRED
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