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| Aufgabe | | Zeige, dass die Folge [mm] (5^n)/5! [/mm] konvergiert. |
Mit dem Taschenrechner (der an der Prüfung nicht eingesetzt werden darf) habe ich den Grenzwert gegen n--> unendlich ausgerechnet, der ist Null. Deckt sich mit meiner intuitiven Ansicht.
Danach habe ich das ganze mit vollständiger Induktion beweisen wollen.
bei n=1 ist herausgekommen [mm] (5^1)/1! [/mm] = 5
Danach habe ich gezeigt, dass [mm] (5^n)/n! [/mm] > [mm] (5^n)/n! [/mm] * 5/(n+1) ist, allerdings nur unter der Bedingung, dass (n+1) > 5 ist.
Ich muss nun wissen, wie ich den Grenzwert der Folge auch ohne Taschenrechner herausfinden kann, weiss allerdings nicht, wie das geht, wenn in der Formel ein ! (Fakultätszeichen) erscheint.
Und vielleicht kennt jemand eine bessere Art und Weise der Formulierung, wie ich sagen kann, dass die Folge erst nachdem die Bedingung (1+n) > 5 erfüllt ist, gegen 0 konvergiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Zeige, dass die Folge [mm](5^n)/5![/mm] konvergiert.
> Mit dem Taschenrechner (der an der Prüfung nicht eingesetzt
> werden darf) habe ich den Grenzwert gegen n--> unendlich
> ausgerechnet, der ist Null. Deckt sich mit meiner
> intuitiven Ansicht.
>
> Danach habe ich das ganze mit vollständiger Induktion
> beweisen wollen.
>
Vollständige Induktion hat hier nichts zu suchen!!
> bei n=1 ist herausgekommen [mm](5^1)/1![/mm] = 5
>
> Danach habe ich gezeigt, dass [mm](5^n)/n![/mm] > [mm](5^n)/n![/mm] * 5/(n+1)
> ist, allerdings nur unter der Bedingung, dass (n+1) > 5
> ist.
>
Das scheint halbwegs ok zu sein, also du zeigst hier das die Folge (streng) monoton fallend ist, also [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] für alle n > 4. Diese Bedingung mit n>4 ist nicht weiter schlimm, denn wir interessieren uns ja eh nur für große n!
Zeige jetzt zusätzlich noch, dass die Folge stets größer Null ist. Dann folgt die Konvergenz über den Satz der monotonen Konvergenz.
Der Grenzwert ist dann außerdem das Infimum, also hier 0. Falls du die Aufgabenstellung exakt abgetippt hast, ist der Grenzwert allerdings hier gar nicht gefragt!! Hier immer sehr genau lesen!
> Ich muss nun wissen, wie ich den Grenzwert der Folge auch
> ohne Taschenrechner herausfinden kann, weiss allerdings
> nicht, wie das geht, wenn in der Formel ein !
> (Fakultätszeichen) erscheint.
>
> Und vielleicht kennt jemand eine bessere Art und Weise der
> Formulierung, wie ich sagen kann, dass die Folge erst
> nachdem die Bedingung (1+n) > 5 erfüllt ist, gegen 0
> konvergiert.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße Patrick
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