Folge konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mo 27.02.2012 | | Autor: | chara18 |
| Aufgabe | | Ist die Folge a n = n*n /(n+1) konvergent der divergent? |
Hmm.. Ich vermute, dass die Folge konvergent ist. Mit austesten habe ich herausgefunden, dass sie monoton steigend ist, aber sie hat keine obere Schranke.
Kann man das so wie ich das jetzt aufschreiben werde beweisen???
n*n/(n+1) > (gleich) 2n/(n+1) > (größer,gleich) 2n /n
deswegen ist sie nicht konvergent
Ich habe diese Frage nur hier gepostet.
Ist der Beweis richtig??? oder nur der Ansatz
Ich bedanke mich für die Antworten
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Hallo chara!
> Hmm.. Ich vermute, dass die Folge konvergent ist.
Da widersprichst Du Dir aber mit Deiner Aussage unten!
> Mit austesten habe ich herausgefunden, dass sie monoton
> steigend ist, aber sie hat keine obere Schranke.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wenn es keine obere Schranke gibt, bist Du eigentlich schon fertig.
> Kann man das so wie ich das jetzt aufschreiben werde
> beweisen???
>
> n*n/(n+1) > (gleich) 2n/(n+1) > (größer,gleich) 2n /n
Die letzte Abshätzung ist falsch. Außerdem hilft Dir diese Abschätzung gar nicht, weil Du damit nur zeigst, dass [mm] $a_n$ [/mm] größer ist als ein bestimmter Wert.
Forme doch mal wie folgt um:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] n-1+\bruch{1}{n+1}$
[/mm]
Für große n-Werte kann der Bruchanteil vernachlässigt werden. Also ... ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Di 28.02.2012 | | Autor: | chara18 |
> Hallo chara!
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> > Hmm.. Ich vermute, dass die Folge konvergent ist.
>
> Da widersprichst Du Dir aber mit Deiner Aussage unten!
>
Ich meinte nicht konvergent, also divergent. :)
> > Mit austesten habe ich herausgefunden, dass sie monoton
> > steigend ist, aber sie hat keine obere Schranke.
>
> Und wenn es keine obere Schranke gibt, bist Du
> eigentlich schon fertig.
>
Man kann doch nicht einfach eine Aussage treffen ohne sie zu begründen bzw zu weisen. So wurde mir das gesagt, also muss ich das doch irgendwie beweisen oder liege ich da falsch??
> > Kann man das so wie ich das jetzt aufschreiben werde
> > beweisen???
> >
> > n*n/(n+1) > (gleich) 2n/(n+1) > (größer,gleich)
> 2n /n
>
> Die letzte Abshätzung ist falsch. Außerdem hilft Dir
> diese Abschätzung gar nicht, weil Du damit nur zeigst,
> dass [mm]a_n[/mm] größer ist als ein bestimmter Wert.
>
Hmm wann würde mir denn eine Abschätzung weiterhelfen?? :S :( Ich habe Probleme mit Abschätzungen. Kannst du mir bitte Ratschläge zum Abschätzen geben. Dankeschön :$
Liebe Grüße
Nadine
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Hallo,
[mm]\bruch{n^2}{n+1}=n-\bruch{n}{n+1}[/mm]
das sollte genügen, um direkt die Divergenz zu begründen, oder eine divergente Folge zu finden, die kleiner ist als die Ausgangsfolge.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Di 28.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und wenn es keine obere Schranke gibt, bist Du
> > eigentlich schon fertig.
> >
>
> Man kann doch nicht einfach eine Aussage treffen ohne sie
> zu begründen bzw zu weisen. So wurde mir das gesagt, also
> muss ich das doch irgendwie beweisen oder liege ich da
> falsch??
man kann zeigen (falls ihr das bisher noch nicht gemacht habt): Falls eine Folge konvergiert, so ist sie auch beschränkt. (![[]](/images/popup.gif) Satz 5.4.)
Per Kontraposition also:
Ist eine Folge unbeschränkt, so divergiert sie! (Beachte, dass wir hierbei aber auch etwa die Konvergenz gegen [mm] $+\infty$ [/mm] als Divergenz auffassen, nämlich als "bestimmte Divergenz gegen [mm] $+\infty$". [/mm] Konvergenz bedeutet dabei also, dass der Grenzwert auch in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] liegt, und [mm] $+\infty,\;-\infty \notin \IC\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 28.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo Roadrunner,
>
> [mm]a_n \ = \ \bruch{n^2}{n+1} \ = \ n-1+\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Für große n-Werte kann der Bruchanteil vernachlässigt
> werden. Also ... ?
Diese Abschätzung ist wirklich gut. So sieht man wirklich sofort, dass die Folge divergiert. Man könnte aus dem letzten Teil die harmonische Reihe abschätzen und dann sieht man das der vordere Teil gegen unendlich geht.
Aber wie kommt man eigentlich auf solche Umformungen. Ich würde selber in der Klasur nicht auf so eine Umformung kommen. Gibt es dabei ein paar Tricks??
Danke für die Antwort :)
LG Nadine
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 28.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Roadrunner,
>
> >
> > [mm]a_n \ = \ \bruch{n^2}{n+1} \ = \ n-1+\bruch{1}{n+1}[/mm]
> >
> > Für große n-Werte kann der Bruchanteil vernachlässigt
> > werden. Also ... ?
>
> Diese Abschätzung ist wirklich gut. So sieht man wirklich
> sofort, dass die Folge divergiert. Man könnte aus dem
> letzten Teil die harmonische Reihe
das hat nun wirklich auch (fast) gar nichts (direkt) mit der harmonischen Reihe zu tun - wie kommst Du nun zu der?
> abschätzen und dann
> sieht man das der vordere Teil gegen unendlich geht.
>
>
> Aber wie kommt man eigentlich auf solche Umformungen. Ich
> würde selber in der Klasur nicht auf so eine Umformung
> kommen. Gibt es dabei ein paar Tricks??
> Danke für die Antwort :)
Einer der "Standardwege" wäre:
Klammere "höchste Potenz" im Zähler und Nenner vor
[mm] $$a_n=\frac{n^2}{n+1}=\frac{n^2}{n^2}*\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$$
[/mm]
Dann sieht man
[mm] $$|a_n| \ge \frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}=n/2\,.$$
[/mm]
(Alternativ: Man betrachtet die Nennerfolge [mm] $(N_n)_n$ [/mm] mit [mm] $N_n:=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $N_n [/mm] > 0$ und [mm] $N_n \to [/mm] 0$ kannst Du leicht beweisen. Daher folgt [mm] $1/N_n \to +\infty\,,$ [/mm] was Du auch leicht beweisen können solltest!)
Da [mm] $(a_n)_n$ [/mm] somit nach oben und damit insgesamt unbeschränkt ist, kann [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht konvergieren - in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] konvergente Folgen sind notwendig beschränkt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Di 28.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo , :)
> > Diese Abschätzung ist wirklich gut. So sieht man wirklich
> > sofort, dass die Folge divergiert. Man könnte aus dem
> > letzten Teil die harmonische Reihe
>
> das hat nun wirklich auch (fast) gar nichts (direkt) mit
> der harmonischen Reihe zu tun - wie kommst Du nun zu der?
Ich dachte, dass man n-1 + 1/(n+1) zu n-1+1/n abschätzen kann. und 1/n ist die harmonische Reihe. :)
Aber vielen Dank für die Antwort. Ich werde versuchen immer die höchste Potenz auszuklammern.
LG :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Di 28.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo , :)
> > > Diese Abschätzung ist wirklich gut. So sieht man
> wirklich
> > > sofort, dass die Folge divergiert. Man könnte aus dem
> > > letzten Teil die harmonische Reihe
> >
> > das hat nun wirklich auch (fast) gar nichts (direkt) mit
> > der harmonischen Reihe zu tun - wie kommst Du nun zu der?
>
>
> Ich dachte, dass man n-1 + 1/(n+1) zu n-1+1/n abschätzen
> kann.
es ist aber $n-1+1/(n+1) [mm] \le n-1+1/n\,.$ [/mm] Aber die Feststellung [mm] $a_n=n-1+1/(n+1)$ [/mm] zeigt doch schon [mm] $a_n \ge n-1+\text{Nullfolge}\,,$ [/mm] das reicht eigentlich! (Warum?)
> und 1/n ist die harmonische Reihe. :)
Ohje ohje: Mach' Dir bitte unbedingt klar, was der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe (= Folge ihrer Teilsummen) ist:
Die Folge [mm] $(1/n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Nullfolge, die harmonische Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\left(\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\right)_{N \in \IN}$ [/mm] divergiert bestimmt gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
Übrigens wäre es bei Reihen ziemlich egal, ob Du
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty b_n \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty c_n \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$
[/mm]
hättest - in beiden Fällen ist das Argument, dass rechterhand ein Restglied der harmonischen Reihe bei den Abschätzungen steht, und daher [mm] $\sum b_n$ [/mm] und [mm] $\sum c_n$ [/mm] divergiert.
Zum einen hat das was mit dem "Restglied" einer Reihe zu tun, zum anderen erkennt man etwa, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty (1/(n+1))=\sum_{\ell=2}^\infty \frac{1}{\ell}$ [/mm] ein Restglied der harmonischen Reihe ist.
Aber wie gesagt: Mit der harmonischen Reihe hat die Aufgabe hier nun wirklich so gut wie keine Verbindung!
> Aber vielen Dank für die Antwort. Ich werde versuchen
> immer die höchste Potenz auszuklammern.
Das bringt vor allem dann etwas, wenn man bei solchen Brüchen "den Grenzwert berechnen" will (mit etwas Übung kann man sofort sagen, wann da was passiert - oder das ganze auch als "Lemma" formulieren).
Gruß,
Marcel
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