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Folge komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Mi 20.10.2010
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:

$ [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} [/mm] $


Hallo,

ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.

Ich hab' zunächst den Betrag von $ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) [/mm] $ betrachtet.

Es ist $ |z| = | [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) [/mm] | = [mm] \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} [/mm] = 1 $

Daraus folgt, dass $ [mm] |z|^{\sqrt{n!}} [/mm] = [mm] |z^{\sqrt{n!}}| \to [/mm] 1 $ mit [mm] $\sqrt{n!} \to \infty [/mm] $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $

Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus $ [mm] |z_n| \to [/mm] z $ auf $ [mm] z_n \to [/mm] z $ schließen darf.

Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch leicht zeigen:

Sei also $ [mm] z_n \in \IC [/mm] $ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit Grenzwert $ z [mm] \in \IC [/mm] $.

Dann gilt $ [mm] |z_n| \to [/mm] z [mm] \Rightarrow z_n \to [/mm] z $

Beweis:

Wegen $ [mm] |z_n| \to [/mm] z $ ist $ [mm] \left| |z_n| - z \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon) [/mm] $

Es ist $ [mm] |z_n| \ge z_n [/mm] $ also auch $ [mm] |z_n| [/mm] - z [mm] \ge z_n [/mm] - z $ und somit

$  [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \left| |z_n| - z \right| \ge [/mm] | [mm] z_n [/mm] - z | \ \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon) [/mm] \ \ \  [mm] \Box [/mm] $

Also ist $  [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} [/mm] = 1 $

Würde mich über Feedback freuen!
Vielen Dank

Grüße
ChopSuey

        
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 20.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo ChopSuey,


> Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz
> sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.
>
> Ich hab' zunächst den Betrag von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)[/mm]
> betrachtet.
>  
> Es ist [mm]|z| = | \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) | = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1[/mm]
>  
> Daraus folgt, dass [mm]|z|^{\sqrt{n!}} = |z^{\sqrt{n!}}| \to 1[/mm]
> mit [mm]\sqrt{n!} \to \infty[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
>  
> Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus
> [mm]|z_n| \to z[/mm] auf [mm]z_n \to z[/mm] schließen darf.
>  
> Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch
> leicht zeigen:

Hmm, was ist mit [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]

Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??

Letzter GW existiert doch nicht!

>  
> Sei also [mm]z_n \in \IC[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen mit Grenzwert [mm]z \in \IC [/mm].
>  
> Dann gilt [mm]|z_n| \to z \Rightarrow z_n \to z[/mm]
>  
> Beweis:
>  
> Wegen [mm]|z_n| \to z[/mm] ist [mm]\left| |z_n| - z \right| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm]
>  
> Es ist [mm]|z_n| \ge z_n[/mm] also auch [mm]|z_n| - z \ge z_n - z[/mm] und
> somit
>  
> [mm]\varepsilon > \left| |z_n| - z \right| \ge | z_n - z | \ \ \forall n \ge n_0(\varepsilon) \ \ \ \Box[/mm]
>  
> Also ist [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} = 1[/mm]
>  
> Würde mich über Feedback freuen!

Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...

Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf teilweise beantwortet

>  Vielen Dank
>  
> Grüße
>  ChopSuey

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Mi 20.10.2010
Autor: ChopSuey

Hey schachuzipus,


>  
> Hmm, was ist mit
> [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
>  
> Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
>  
> Letzter GW existiert doch nicht!

Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?


>  
> Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß
> aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...
>  
> Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf
> teilweise beantwortet

Alles klar, dank dir.

>  
> >  Vielen Dank

>  >  
> > Grüße
>  >  ChopSuey
>
> LG
>  
> schachuzipus
>  

Viele Grüße
ChopSuey


Bezug
                        
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Mi 20.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hey schachuzipus,
>  
>
> >  

> > Hmm, was ist mit
> > [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
>  >  
> > Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
>  >  
> > Letzter GW existiert doch nicht!
>  
> Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle
> Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?

Hmm, nahezu identisches Gegenbsp: [mm](z_n)_{n\in\IN}=\big((-1)^n\big)_{n\in\IN}[/mm]

>  
>
> >  

> > Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß
> > aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...
>  >  
> > Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf
> > teilweise beantwortet
>  
> Alles klar, dank dir.
>
> >  

> > >  Vielen Dank

>  >  >  
> > > Grüße
>  >  >  ChopSuey
> >
> > LG
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
>
> Viele Grüße
>  ChopSuey

LG

schachuzipus

>  


Bezug
                                
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 Mi 20.10.2010
Autor: ChopSuey

Hey schachuzipus,

> Hallo nochmal,
>  
>
> > Hey schachuzipus,
>  >  
> >
> > >  

> > > Hmm, was ist mit
> > > [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
>  >  >  
> > > Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> > > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
>  >  >  
> > > Letzter GW existiert doch nicht!
>  >  
> > Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle
> > Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?
>  
> Hmm, nahezu identisches Gegenbsp:
> [mm](z_n)_{n\in\IN}=\big((-1)^n\big)_{n\in\IN}[/mm]

Achja klar, oh mann. ;-)

Das hatten wir in Analysis I eigentlich zu genüge. Blöd, dass ich das vergaß.


Grüße
ChopSuey


Bezug
        
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mi 20.10.2010
Autor: abakus

Ich muss den Beitrag löschen.
Der Rechner hängt komischerweise beim Übersetzen der Formel
\ Wurzel(n!).

Bezug
        
Bezug
Folge komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 20.10.2010
Autor: abakus


> Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz
> sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.
>
> Ich hab' zunächst den Betrag von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)[/mm]
> betrachtet.
>  
> Es ist [mm]|z| = | \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) | = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1[/mm]

Das bedeutet: Sämtliche Folgenglieder befinden sich auf dem Einheitskreis.
Das Argument des ersten Folgengliedes ist -45°,
das n-te Folgenglied hat das Argument  (-45°)*Wurzel(n!)
Die Frage ist ganz einfach:
Konvergiert Wurzel(n!) gegen irgendeinen festen Wert (dann konvergiert auch z gegen einen bestimmten Punkt des Einheitskreises)
oder
wird Wurzel(n!) mit zunehmendem n "2 [mm] \pi [/mm] - periodisch" (dann würde sich das Argument zwar ständig ändern, aber z trotzdem gegen einen bestimmten Punkt des Einheitskreises konvergieren)
oder
"umkreist" das Argument fröhlich den Einheitskreis in allen möglichen Stellungen?
Gruß Abakus

>  
> Daraus folgt, dass [mm]|z|^{\sqrt{n!}} = |z^{\sqrt{n!}}| \to 1[/mm]
> mit [mm]\sqrt{n!} \to \infty[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
>  
> Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus
> [mm]|z_n| \to z[/mm] auf [mm]z_n \to z[/mm] schließen darf.
>  
> Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch
> leicht zeigen:
>  
> Sei also [mm]z_n \in \IC[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen mit Grenzwert [mm]z \in \IC [/mm].
>  
> Dann gilt [mm]|z_n| \to z \Rightarrow z_n \to z[/mm]
>  
> Beweis:
>  
> Wegen [mm]|z_n| \to z[/mm] ist [mm]\left| |z_n| - z \right| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm]
>  
> Es ist [mm]|z_n| \ge z_n[/mm] also auch [mm]|z_n| - z \ge z_n - z[/mm] und
> somit
>  
> [mm]\varepsilon > \left| |z_n| - z \right| \ge | z_n - z | \ \ \forall n \ge n_0(\varepsilon) \ \ \ \Box[/mm]
>  
> Also ist [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} = 1[/mm]
>  
> Würde mich über Feedback freuen!
>  Vielen Dank
>  
> Grüße
>  ChopSuey


Bezug
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