Folge auf Konvergenz prüfen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 24.11.2013 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | | [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}+\bruch{\wurzel{9n+1}}{\wurzel{3n-2}} [/mm] |
Hey,
ich habe diese Folge gegeben und soll diese auf Konvergenz prüfen und gegebenenfalls eine Grenzwert bestimmen.
Wie genau muss ich hier vorgehen?
Da n einmal als Hochzahl auftaucht, in nem Bruch sogar zweimal und durch den 2. Term mit den beiden Wurzeln bin ich leicht überfordert und weiß nicht wie ich wo anfangen soll...
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Hallo,
> [mm]b_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}+\bruch{\wurzel{9n+1}}{\wurzel{3n-2}}[/mm]
> Hey,
> ich habe diese Folge gegeben und soll diese auf Konvergenz
> prüfen und gegebenenfalls eine Grenzwert bestimmen.
>
> Wie genau muss ich hier vorgehen?
> Da n einmal als Hochzahl auftaucht, in nem Bruch sogar
> zweimal und durch den 2. Term mit den beiden Wurzeln bin
> ich leicht überfordert und weiß nicht wie ich wo anfangen
> soll...
Nachdenken über die Terme, die da stehen. Gegen welche Werte streben die beiden Summanden für sich genommen (das ist völlig trivial)?
Wenn man das erkannt hat, dann kann man einen formalen Beweis etwa via Sandwich-Lemma erbringen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]b_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}+\bruch{\wurzel{9n+1}}{\wurzel{3n-2}}[/mm]
> Hey,
> ich habe diese Folge gegeben und soll diese auf Konvergenz
> prüfen und gegebenenfalls eine Grenzwert bestimmen.
>
> Wie genau muss ich hier vorgehen?
> Da n einmal als Hochzahl auftaucht, in nem Bruch sogar
> zweimal und durch den 2. Term mit den beiden Wurzeln bin
> ich leicht überfordert und weiß nicht wie ich wo anfangen
> soll...
Du kannst vor allem schreiben
[mm] $\frac{\sqrt{9n+1}}{\sqrt{3n-2}}=\sqrt{\frac{9n+1}{3n-2}}=\sqrt{\frac{n}{n}*\frac{9+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}}=\sqrt{\frac{9+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}}$
[/mm]
Und schau' auch mal nach Rechenregeln für konvergente Folgen:
[mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ [mm] $\Longrightarrow$ $a_n+b_n \to [/mm] a+b$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 24.11.2013 | | Autor: | Teryosas |
okay, ich glaube ich habs.
der erste Term konvergiert gegen 0 und der zweite gegen [mm] \wurzel{3} [/mm] oder?
sprich die gesamte Folge konvergiert gegen [mm] \wurzel{3}, [/mm] wodurch [mm] \wurzel{3} [/mm] auch der Grenzwert ist.
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, ich glaube ich habs.
>
> der erste Term konvergiert gegen 0 und der zweite gegen
> [mm]\wurzel{3}[/mm] oder?
> sprich die gesamte Folge konvergiert gegen [mm]\wurzel{3},[/mm]
> wodurch [mm]\wurzel{3}[/mm] auch der Grenzwert ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
nicht unwichtig: Kannst Du das auch sauber aufschreiben? (Entweder mit
Limes-Notation [mm] ($\lim_{n \to \infty}$) [/mm] oder mit der [mm] "Pfeil-"($\to$)"Notation" [/mm]
[ich habe mit der ja ein Grenzwertrechengesetz zitiert/formuliert]).
Gruß,
Marcel
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