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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Fr 01.07.2011 | | Autor: | weaser08 |
Hallo,
wie kann man folgende Folge formal darstellen:
1, 7, 12, 16, 19, 21
Vielen Dank!
Gruß
weaser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Blech |
> wie kann man folgende Folge formal darstellen:
gut.
> Vielen Dank!
Nichts zu danken, gern geschehen, ich bin noch die ganze Woche da.
"Eigene Ideen und Lösungsansätze posten oder konkrete Frage stellen"
Einziger Sinn und Daseinszweck der Aufgabe ist es, Dich dazu zu bringen, Dir das ganze näher anzusehen und Dich mit den verschiedenen Relationen zwischen den Zahlen zu beschäftigen. Die Lösung ist völlig nebensächlich, also ist es kontraproduktiv, sie hier einfach zu posten.
1. Also, nachdem Du hier fragst, hast Du Dir doch sicher schon ein paar Gedanken zu der Folge gemacht. Was sind denn verschiedene Optionen, die Du ausprobiert hast?
2. Was wären denn andere Vorschriften, die Dir bis jetzt untergekommen sind?
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Fr 01.07.2011 | | Autor: | weaser08 |
Hallo Stefan,
Ich habe mir bereits folgende Gedanken gemacht:
Die Folge lautet:
n1 => a1 = 1
n2 => a2 = 7
n3 => a3 = 12
n4 => a4 = 16
n5 => a5 = 19
n6 => a6 = 21
Die Differenz zwischen a1 und a2 beträgt d = 6
Nun kann ich a2 und die anderen Werte auch so darstellen:
a1 = 1
a2 = a1+d
a3 = a2 + d - 1
a4 = a3 + d - 2
a5 = a4 + d - 3
a6 = a5 + d - 4
wenn ich jetzt a4 berechnen möchte, kann ich wie folgt vorgehen:
a4 = a1 + a2 + a3 + d - 2
a4 = 1 + d + (d-1) + (d-2)
a4 = 1 + 3d - 3
a4 = 1 + 18 - 3
a4 = 16
an = 1 + 6(n - 1) - (n-1)
Kann das so angehen?
Danke für deine Bemühungen!
Gruß
Weaser
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 01.07.2011 | | Autor: | weaser08 |
Ich habe mir bereits folgende Gedanken gemacht:
Die Folge lautet:
n1 => a1 = 1
n2 => a2 = 7
n3 => a3 = 12
n4 => a4 = 16
n5 => a5 = 19
n6 => a6 = 21
Die Differenz zwischen a1 und a2 beträgt d = 6
Nun kann ich a2 und die anderen Werte auch so darstellen:
a1 = 1
a2 = a1+d
a3 = a2 + d - 1
a4 = a3 + d - 2
a5 = a4 + d - 3
a6 = a5 + d - 4
wenn ich jetzt a4 berechnen möchte, kann ich wie folgt vorgehen:
a4 = a1 + a2 + a3 + d - 2
a4 = 1 + d + (d-1) + (d-2)
a4 = 1 + 3d - 3
a4 = 1 + 18 - 3
a4 = 16
an = 1 + 6(n - 1) - (n-1)
Kann das so angehen?
Ich weiß nicht, wie ich die "-1", "-2" in der allgemeinen an Formel darstellen soll!
Gruß
Weaser
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Hallo weaser08,
sicherlich habt ihr die eine oder ander Folge in der Schule schon behandelt. So bspw. diese:
[mm] d_n:=1;3;6;10;15;...
[/mm]
Kennst du sie? Dann kennst du sicherlich auch ihre explizite Darstellung nebst ihrem Namen. Und siehst du vielleicht auch, wie du mit Hilfe dieser Folge auf sehr leichte Art und Weise deine Folge explizit darstellen kannst, ohne dass du groß im Dreieck herumspringen musst*?
Gruß, Diophant
*Ein kleines Wortspiel, welches zu meinem obigen Tipp passt...
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Hallo weaser,
natürlich geht es mit Diophants Tipp ganz wunderbar.
Allgemein gilt für solche Folgen aber dies: ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder durch eine lineare Funktion zu beschreiben, so ist die Folge durch eine quadratische Funktion zu beschreiben.
Allgemeiner gilt sogar: ist die Differenz durch ein Polynom P(n) vom Grad k zu beschreiben, dann ist die Folge durch ein Polynom P(n) vom Grad k+1 zu beschreiben.
Hier heißt das also: es gibt eine Darstellung [mm] a_n=\alpha n^2+\beta{n+c}
[/mm]
Wenn Du das löst (drei Folgenglieder genügen), sind zwei der Koeffizienten nicht ganzzahlig, und zwei sind negativ. Soviel als Kontrollangabe.
Und natürlich ist das dann genau das gleiche wie das, was Du auf Diophants Weg erhältst, nur eben anders ermittelt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Fr 01.07.2011 | | Autor: | weaser08 |
Vielen Dank für die Ratschläge!
die konkrete Darstellung: $ [mm] a_n=\alpha n^2+\beta{n+c} [/mm] $
kann ich leider nicht verwenden, weil ich die Formel in einem
Algorithmus verwenden möchte, der ständig verschiedene Folgen
nach dem gleichen Muster generiert.
Mein Versuch sieht nun so aus:
1 + d(n-1) - ((n-2)(n-1)) / 2
Kann man das noch irgendwie zusammenfassen/kürzer darstellen?
Gruß
weaser
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Hallo weaser,
ich glaube, ich verstehe es noch nicht so recht...
> die konkrete Darstellung: [mm]a_n=\alpha n^2+\beta{n+c}[/mm]
> kann
> ich leider nicht verwenden, weil ich die Formel in einem
> Algorithmus verwenden möchte, der ständig verschiedene
> Folgen
> nach dem gleichen Muster generiert.
Was ist denn das "gleiche Muster"? Ich vermute mal, die Folgen (sozusagen eine Folgenschar) sind alle äquidistant, aber eben mit verschiedenen (für die Folge eindeutigen) [mm] d=a_{n+1}-a_n [/mm] ? Und alle d sind negativ?
> Mein Versuch sieht nun so aus:
>
> 1 + d(n-1) - ((n-2)(n-1)) / 2
>
> Kann man das noch irgendwie zusammenfassen/kürzer
> darstellen?
Naja, man kann aus den beiden letzten Summanden noch (n-1) ausklammern, aber das macht es nicht viel besser.
Hier geht der Startwert [mm] a_1 [/mm] noch nicht in die Formel ein, und ansonsten habe ich sie deswegen auch nicht überprüft, auch wenn sie plausibel aussieht.
Grüße
reverend
Dafür
> Gruß
> weaser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Sa 02.07.2011 | | Autor: | weaser08 |
Hallo reverend,
> Was ist denn das "gleiche Muster"? Ich vermute mal, die
> Folgen (sozusagen eine Folgenschar) sind alle äquidistant,
> aber eben mit verschiedenen (für die Folge eindeutigen)
> [mm]d=a_{n+1}-a_n[/mm] ? Und alle d sind negativ?
Mit dem "gleichen Muster" meine ich, dass die differenz zwischen den Folgen immer um jeweils 1 gemindert wird:
Beispiel Folge 1:
a1 = 1
a2 = 7
a3 = 12
a4 = 16
a5 = 19
a6 = 21
Beispiel Folge 2:
a1 = 1
a2 = 8
a3 = 14
a4 = 19
a5 = 23
a6 = 26
a7 = 28
Ich beschreibe dir jetzt einfch mal, was ich damit vorhabe. Entnommen habe ich diese Folgen einer oberen Dreiecksmatrix inklusive der Hauptdiagonalen, Beispiel:
n = 6
1 2 3 4 5 6
0 7 8 9 10 11
0 0 12 13 14 15
0 0 0 16 17 18
0 0 0 0 19 20
0 0 0 0 0 21
Die Folge ist also jeweils die Hauptdiagonale, diese ändert sich natürlich mit der größe von n.
Die Matrix möchte ich in einer linearen Datenstruktur zeilenweise speichern, also ungefähr so:
aij => Matrix index
i => zeile
j => spalte
a 11 , a 12 , a 13 , a 14, a 15, a 16 , a 22 , a 23 , a 24, a 25, a 26 , a 33 , a 34, a 35, a 36, a 44, a 45, a 46, a 55, a 56, a 66
Wenn ich nun in der linearen Datenstruktur auf das Feld a24 zugreifen möchte, weiß ich ja leider nicht welchen index dieses Feld in der Datenstruktur besitzt. In der oberen Matrix wäre das der Index 9.
Die Formel muss also aus a24 => den Index 9 berechnen.
Nun ist mir gestern Abend aufgefallen, dass man das auch ganz einfach so berechnen kann:....
n = dimension der Matrix
i = zeile
j = spalte
i * n - ((i-1)*i) / 2 -(n-j)
Beispielrechnung:
n = 6
i = 4
j = 6
4 * 6 - ((4-1)*4) / 2 -(6-6) = 18
Der Wert von dem Matrix Feld 4,6 befindet sich in der Struktur an dem Index 18.
Mir hat einfach die gaußsche Summenformel gefehlt, ich glaube noch kürzer
kann man die berechnung nicht beschreiben!?
Gruß
weaser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Sa 02.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo weaser,
danke für die Erklärung.
Nein, kürzer als Deine Formel geht es dann nicht.
Schön, wenns so klappt!
Grüße
reverend
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