Folge: Grenzwert bzw. Konverg. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei (an)n2N die rekursiv de nierte Folge
a1 := 1; an+1 [mm] :=\bruch{4a_{n}}{3a_{n} + 3} [/mm] ; n [mm] \in [/mm] N:
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Hi!
Ist die Vorgehensweise bei diesen Aufgaben immer so, dass man zuerst die Beschränktheit der Folge zeigt (Hier beispielsweise mit Induktion) und danach die Monotonie zeigt?
würde bei der Aufgabe anfangen und Behaupten dass ein Grenzwert existiert:
[mm] a=\bruch{4a}{3a + 3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=0 oder [mm] a=\bruch{1}{3}
[/mm]
Das würde ich jetzt mit der Induktion zeigen:
[mm] a_{1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Danach die Monotonie:
[mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0
Ist der Weg so richtig?
gruß
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Hallo Valerie,
> Es sei (an)n2N die rekursiv de nierte Folge
> a1 := 1; an+1 [mm]:=\bruch{4a_{n}}{3a_{n} + 3}[/mm] ; n [mm]\in[/mm] N:
> Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert.
> Hi!
> Ist die Vorgehensweise bei diesen Aufgaben immer so, dass
> man zuerst die Beschränktheit der Folge zeigt (Hier
> beispielsweise mit Induktion) und danach die Monotonie
> zeigt?
Die Reihenfolge ist doch egal, wenn du willst, zeige zuerst die Monotonie und dann die Beschränktheit ...
Hauptsache, du bekommst beides 
>
> würde bei der Aufgabe anfangen und Behaupten dass ein
> Grenzwert existiert:
Das kannst du vorab auf dem Schmierzettel machen, um einen Eindruck zu bekommen, was wohl passieren wird/kann.
Rechnen musst du andersherum.
Erst Monotonie und Beschränktheit sichern die Existenz des GW
>
> [mm]a=\bruch{4a}{3a + 3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 oder [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das würde ich jetzt mit der Induktion zeigen:
>
> [mm]a_{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Naja, das sollte für alle [mm]a_n[/mm] gelten ...
>
> Danach die Monotonie:
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n} \le[/mm] 0
Alternativ und manchmal einfacher kannst du [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1[/mm] zeigen ...
>
> Ist der Weg so richtig?
Jo, mache das mal!
>
> gruß
>
LG
schachuzipus
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> Hallo Valerie,
>
>
> > Es sei (an)n2N die rekursiv de nierte Folge
> > a1 := 1; an+1 [mm]:=\bruch{4a_{n}}{3a_{n} + 3}[/mm] ; n [mm]\in[/mm] N:
> > Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen
> Sie
> > gegebenenfalls den Grenzwert.
> > Hi!
> > Ist die Vorgehensweise bei diesen Aufgaben immer so,
> dass
> > man zuerst die Beschränktheit der Folge zeigt (Hier
> > beispielsweise mit Induktion) und danach die Monotonie
> > zeigt?
>
> Die Reihenfolge ist doch egal, wenn du willst, zeige zuerst
> die Monotonie und dann die Beschränktheit ...
>
> Hauptsache, du bekommst beides
>
>
> >
> > würde bei der Aufgabe anfangen und Behaupten dass ein
> > Grenzwert existiert:
>
> Das kannst du vorab auf dem Schmierzettel machen, um einen
> Eindruck zu bekommen, was wohl passieren wird/kann.
>
> Rechnen musst du andersherum.
>
> Erst Monotonie und Beschränktheit sichern die Existenz des
> GW
>
> >
> > [mm]a=\bruch{4a}{3a + 3}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 oder
> [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Das würde ich jetzt mit der Induktion zeigen:
> >
> > [mm]a_{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Naja, das sollte für alle [mm]a_n[/mm] gelten ...
>
> >
> > Danach die Monotonie:
> >
> > [mm]a_{n+1}-a_{n} \le[/mm] 0
>
> Alternativ und manchmal einfacher kannst du
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1[/mm] zeigen ...
>
> >
> > Ist der Weg so richtig?
>
> Jo, mache das mal!
>
> >
> > gruß
> >
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Hallo Schachuzipus!
Hätte jetzt für Monotonie:
[mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3} -a_{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{a_{n}*(4-3a_{n}-3}{3a_{n}+3}
[/mm]
[mm] \le \bruch{a_{n}*(1-\bruch{1}{3}}{3+3a_{n}} [/mm] = 0
[mm] a_{n} [/mm] also mon fallend.
Beschränktheit:
Ia: n=1 ; [mm] a_{1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Is: n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] a_{n+1}= \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{4a_{n}}{3*(a_{n}+1}
[/mm]
[mm] \bruch{4a_{n}}{a_{n}+1} [/mm] > 1
aufgelöst: [mm] a_{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
da mon fallend und beschränkt also auch konvergent
[mm] \Rightarrow a=\bruch{1}{3} [/mm] für lim n [mm] \infty
[/mm]
Müsste eigentl. soweit passen, oder?
gruß und danke für die schnelle Antwort.
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Hallo nochmal,
bitte mit etwas Bedacht zitieren, Unnötiges kannst du weglöschen!
>
> Hallo Schachuzipus!
>
>
>
>
>
> Hätte jetzt für Monotonie:
>
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3} -a_{n}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a_{n}*(4-3a_{n}-3}{3a_{n}+3}[/mm]
Wie hast du das denn gleichnamig gemacht??
Das stimmt nicht!
>
> [mm]\le \bruch{a_{n}*(1-\bruch{1}{3}}{3+3a_{n}}[/mm] = 0
>
> [mm]a_{n}[/mm] also mon fallend.
Zeige zunächst die Beschränktheit, dann ist das mit der Monotonier einfacher. Nimm den anderen vorgeschlagenen Weg, zeige [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/mm]
Da kürzt sich direkt ein [mm] $a_n$
[/mm]
>
>
>
>
> Beschränktheit:
>
> Ia: n=1 ; [mm]a_{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Is: n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
IV: [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]a_n>1/3[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{4a_{n}}{3*(a_{n}+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4a_{n}}{a_{n}+1}[/mm] > 1
Wieso das?
Setze an [mm]a_{n+1}>1/3[/mm]
[mm]\gdw 4a_n/(3(a_n+1))>1/3[/mm]
[mm]\gdw ...[/mm] und löse mit Äquivalenzumformungen nach [mm]a_n[/mm] auf, dann solltest du auf eine wahre Aussage stoßen.
>
> aufgelöst: [mm]a_{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> da mon fallend und beschränkt also auch konvergent
>
>
> [mm]\Rightarrow a=\bruch{1}{3}[/mm] für lim n [mm]\infty[/mm]
>
> Müsste eigentl. soweit passen, oder?
Nee, da passt so einiges noch nicht zusammen...
>
> gruß und danke für die schnelle Antwort.
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> bitte mit etwas Bedacht zitieren, Unnötiges kannst du
> weglöschen!
>
>
> >
> > Hallo Schachuzipus!
> >
> >
> >
> >
> >
> > Hätte jetzt für Monotonie:
> >
> >
> > [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3} -a_{n}[/mm]
> >
> > = [mm]\bruch{a_{n}*(4-3a_{n}-3}{3a_{n}+3}[/mm]
>
> Wie hast du das denn gleichnamig gemacht??
>
> Das stimmt nicht!
>
> >
> > [mm]\le \bruch{a_{n}*(1-\bruch{1}{3}}{3+3a_{n}}[/mm] = 0
> >
> > [mm]a_{n}[/mm] also mon fallend.
>
> Zeige zunächst die Beschränktheit, dann ist das mit der
> Monotonier einfacher. Nimm den anderen vorgeschlagenen Weg,
> zeige [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/mm]
>
> Da kürzt sich direkt ein [mm]a_n[/mm]
>
> >
> >
> >
> >
> > Beschränktheit:
> >
> > Ia: n=1 ; [mm]a_{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Is: n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
>
> IV: [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]a_n>1/3[/mm]
>
> >
> > [mm]a_{n+1}= \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{4a_{n}}{3*(a_{n}+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{4a_{n}}{a_{n}+1}[/mm] > 1
Sorry, hier sollte es heißen:
Ich hatte auch die Induktionsvorraussetzung vergessen:
es gilt [mm] a_{n}> \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{1}{3}*\bruch{4a_{n}}{a_{n}+1} [/mm] > (nach IV) [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{4*\bruch{1}{3}}{\bruch{1}{3}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
>
> Wieso das?
>
> Setze an [mm]a_{n+1}>1/3[/mm]
>
> [mm]\gdw 4a_n/(3(a_n+1))>1/3[/mm]
>
> [mm]\gdw ...[/mm] und löse mit Äquivalenzumformungen nach [mm]a_n[/mm] auf,
> dann solltest du auf eine wahre Aussage stoßen.
>
> >
> > aufgelöst: [mm]a_{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > da mon fallend und beschränkt also auch konvergent
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow a=\bruch{1}{3}[/mm] für lim n [mm]\infty[/mm]
> >
> > Müsste eigentl. soweit passen, oder?
>
> Nee, da passt so einiges noch nicht zusammen...
>
> >
> > gruß und danke für die schnelle Antwort.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
wieso zitierst du nicht mit mehr Bedacht? So ist es sehr unübersichtlich, aber bitte...
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > bitte mit etwas Bedacht zitieren, Unnötiges kannst du
> > weglöschen!
> >
> >
> > >
> > > Hallo Schachuzipus!
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Hätte jetzt für Monotonie:
> > >
> > >
> > > [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3} -a_{n}[/mm]
> > >
> > > = [mm]\bruch{a_{n}*(4-3a_{n}-3}{3a_{n}+3}[/mm]
> >
> > Wie hast du das denn gleichnamig gemacht??
> >
> > Das stimmt nicht!
> >
> > >
> > > [mm]\le \bruch{a_{n}*(1-\bruch{1}{3}}{3+3a_{n}}[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]a_{n}[/mm] also mon fallend.
> >
> > Zeige zunächst die Beschränktheit, dann ist das mit der
> > Monotonier einfacher. Nimm den anderen vorgeschlagenen Weg,
> > zeige [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/mm]
> >
> > Da kürzt sich direkt ein [mm]a_n[/mm]
> >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Beschränktheit:
> > >
> > > Ia: n=1 ; [mm]a_{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> > >
> > > Is: n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
> >
> > IV: [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]a_n>1/3[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]a_{n+1}= \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{4a_{n}}{3*(a_{n}+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{4a_{n}}{a_{n}+1}[/mm] > 1
>
>
> Sorry, hier sollte es heißen:
>
> Ich hatte auch die Induktionsvorraussetzung vergessen:
Nur ein "r" in Voraussetzung - Mensch!
>
> es gilt [mm]a_{n}> \bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}= \bruch{1}{3}*\bruch{4a_{n}}{a_{n}+1}[/mm]
> > (nach IV)
> [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{4*\bruch{1}{3}}{\bruch{1}{3}+1}[/mm] = ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du den Nenner vergrößerst, verkleinerst du den Bruch!
Du kannst nicht Zähler und Nenner in die gleiche Richtung abschätzen ...
Wie gesagt, einfacher ist's andersherum.
Aber ob du nun gut gemeinte Tipps annimmst oder nicht, liegt ja bei dir ...
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> >
> > Wieso das?
> >
> > Setze an [mm]a_{n+1}>1/3[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 4a_n/(3(a_n+1))>1/3[/mm]
> >
> > [mm]\gdw ...[/mm] und löse mit Äquivalenzumformungen nach [mm]a_n[/mm] auf,
> > dann solltest du auf eine wahre Aussage stoßen.
> >
> > >
> > > aufgelöst: [mm]a_{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> > >
> > > da mon fallend und beschränkt also auch konvergent
> > >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow a=\bruch{1}{3}[/mm] für lim n [mm]\infty[/mm]
> > >
> > > Müsste eigentl. soweit passen, oder?
> >
> > Nee, da passt so einiges noch nicht zusammen...
> >
> > >
> > > gruß und danke für die schnelle Antwort.
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
schachuipus
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Hi!
> Hallo nochmal,
>
> wieso zitierst du nicht mit mehr Bedacht? So ist es sehr
> unübersichtlich, aber bitte...
Ok, werde ich in Zukunft.
> Aber ob du nun gut gemeinte Tipps annimmst oder nicht,
> liegt ja bei dir ...
Danke für die Tipps. Ist wirklich einfacher. ;)
Hatte es eben zuerst mit meinem Ansatz versucht.
> > > Setze an [mm]a_{n+1}>1/3[/mm]
So, hätte dann für die Beschränktheit:
[mm] a_{n+1}>1/3
[/mm]
[mm] \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}>\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{4a_{n}}{a_{n}+1}>1
[/mm]
[mm] 4a_{n}>a_{n}+1
[/mm]
[mm] 3a_{n}>1
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Was nach IV stimmt.
und Zur Monotonie:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1
[/mm]
[mm] \bruch{4a_{n}}{3a_{n}+3}*\bruch{1}{a_{n}}<1
[/mm]
[mm] \bruch{4}{3a_{n}+3}<1
[/mm]
[mm] 4<3a_{n}+3
[/mm]
[mm] 1<3a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Monoton fallend.
gruß und Dankeschön.
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Hallo Valerie,
ja, so ist es gut.
Grüße
reverend
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