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Forum "Uni-Analysis" - Folge - Grenzwert Beweis
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Folge - Grenzwert Beweis: Frage, brauche Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 18.11.2004
Autor: Yoko

Hallo,

in der nächsten Übungsstunde soll ich folgende Aufgabe beweisen und vortragen.

Bewiesen werden soll  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}^{r}=x^{r} [/mm]
[mm] r\in \IR [/mm] fest [mm] x_{n} [/mm] eine Folge aus [mm] (0,\infty) [/mm] und [mm] x_{n}>0 [/mm]

Also der Grenzwert von [mm] x_{n} [/mm] konvergiert gegen x und logischerweise konvergiert der Grenzwert von [mm] x_{n}^{r} [/mm] gegen [mm] x^{r} [/mm]
ich habe mir eine ganz simple Rechnung dazu ausgedacht, kann mir aber nicht vorstellen das das als Beweis reicht.
also:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} e^{r*ln(x_{n})}=x^{r} [/mm] weil [mm] x_{n} [/mm] ja gegen x konvergiert und r kontant ist

Tips sind sehr erwünscht

gruß Yoko


        
Bezug
Folge - Grenzwert Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 18.11.2004
Autor: zwerg

Moin yoko!

der Weg ist soweit richtig, wenn [mm] x_{n} [/mm] eine konvergente Folge ist.
Wenn du das erklären mußt sag/schreib wann du was und warum machst bzw. machen darfst
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{rln(x_n)} [/mm]
wegen Stetigkeit von e
[mm] =e^{r\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(x_n))} [/mm]
wegen Stetigkeit von ln
[mm] =e^{r(ln[\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}])} [/mm]
Konvergenz von [mm] x_{n} [/mm]
[mm] =e^{rln(x)} [/mm]
[mm] =x^{r} [/mm]
doch gilt das auch wenn [mm] x_{n} [/mm] nicht konvergent ist?

MfG
zwerg

Bezug
                
Bezug
Folge - Grenzwert Beweis: Ergänzungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 Do 18.11.2004
Autor: Marcel

Hallo zusammen,

> Moin yoko!
>  
> der Weg ist soweit richtig, wenn [mm]x_{n}[/mm] eine konvergente
> Folge ist.
>  Wenn du das erklären mußt sag/schreib wann du was und
> warum machst bzw. machen darfst
>  

Weil [mm] $x_n [/mm] >0$  [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] (der reelle $ln_$ ist ja nur für echt positive Argumente definiert)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{rln(x_n)} [/mm]

>  wegen Stetigkeit von e
>  [mm]=e^{r\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(x_n))} [/mm]
>  wegen Stetigkeit von ln
>  [mm]=e^{r(ln[\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}])} [/mm]
>  Konvergenz von [mm]x_{n} [/mm]
>  [mm]=e^{rln(x)} [/mm]

Ähm: Hier habe ich einen Einwand: Was ist denn, wenn $x=0$ ist?
Man braucht an dieser Stelle auch noch die Voraussetzung:
[mm] $(\star)$ [/mm] Es existiere [m]x=\limes_{n \to \infty}{x_n}[/m] und es sei $x>0$.
Andernfalls liefert die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] ein "Gegenbeispiel", weil dann nach dem letzten Gleichheitszeichen von Zwerg hier [mm] $e^{rln(\red{0})}$ [/mm] stehen würde.
Aber wenn man [mm] $(\star)$ [/mm] zusätzlich voraussetzt, dann ist das hier alles in Ordnung!
Also: Betrachte die zwei Fälle (unter der Voraussetzung, dass [m]x=\limes_{n \to \infty}{x_n}[/m] existiere):
1. Fall:
$x=0$. Dann gilt die Behauptung wegen ... ? (Na, eine Idee?)
2. Fall:
$x>0$. Dann siehe Zwergs Antwort (+ meine Ergänzungen).

>  [mm]=x^{r} [/mm]
>  doch gilt das auch wenn [mm]x_{n}[/mm] nicht konvergent ist?
>  
> MfG
>  zwerg

PS: @ Yoko:

> Also der Grenzwert von [mm] x_{n} [/mm] konvergiert gegen x

Hier benutzt du eine falsche Sprechweise:
Entweder du sagst:
Der Grenzwert der Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist $x$.
oder
Die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $x$.

Viele Grüße,
Marcel  

Bezug
                        
Bezug
Folge - Grenzwert Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Fr 19.11.2004
Autor: Yoko

Hallo,

danke für die Antworten.
Gut das die Rechnung so an sich ok ist, für die Ausdrucksweise entschuldige mich. und danke für den Hinweis das ich den Fall x=0 noch beachten muss.

gruß Yoko

Bezug
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