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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sarte |
| Aufgabe | | dn = [mm] \bruch{\vektor{n\\ k}*k!}{n^k} [/mm] k,n [mm] \in \IN [/mm] |
Hi Leute,
ich habe ein Problem etwas zu beweisen. Ich soll bei dieser Folge zeigen ob sie konvergent oder divergent ist.
Was habe ich bis jetzt gemacht:
dn = [mm] \bruch{\vektor{n\\ k}*k!}{n^k} [/mm]
[mm] \vektor{n\\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] für n,k [mm] \in \IN [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dn = [mm] \bruch{n!*k!}{k!*(n-k)!*n^k}
[/mm]
= (Kürzen) [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^k}
[/mm]
So jetzt ist meine Frage, wie ich zeigen kann, dass [mm] (n-k)!*n^k [/mm] bei [mm] \infty [/mm] gleich n!, vorallem wenn k kleiner n ist. Am Ende soll sogesehen das stehen [mm] \bruch{n!}{n!} \Rightarrow \bruch{1}{1}. [/mm] Somit liegt der Grenzwert bei 1. Wie mache ich das nun?
Philipp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Philipp!
Gehe ich Recht in der Annahme, dass der Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] bestimmt werden soll und $k_$ (mit $k \ [mm] \le [/mm] \ n$ ) ein fester Wert sei?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sarte |
Ja genau sorry...^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Philipp!
Zerlegen wir den Bruch nun weiter:
[mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^k} \ = \ \bruch{\overbrace{1*2*3*...*(n-k)}^{= \ n-k \ \text{Faktoren}}*\overbrace{(n-k+1)*...*(n-1)*n}^{= \ k \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*(n-k)}_{= \ n-k \ \text{Faktoren}}*\underbrace{n*...*n*n}_{= \ k \ \text{Faktoren}}} \ = \ \underbrace{\bruch{n-k+1}{n}*\bruch{n-k+2}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}}_{= \ k \ \text{Faktoren}}[/mm]
Auf den Term aus den verbleibenden Brüchen lässt sich nun ein Grenzwertsatz anwenden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sarte |
Danke Loddar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Hallo!
Ich komme leider nicht auf diese Bruchzerlegung:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^k} [/mm] = [mm] \bruch{n(n-1)(n-2)\cdots 3*2*1}{(n-k)(n-k+1)\cdots 3*2*1*n*n \cdots n}
[/mm]
WAs mache ich falsch?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Di 23.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lentio!
Du hast nichts falsch gemacht. Du musst jetzt nur die Faktoren zählen und kürzen (siehe hier).
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:31 Di 23.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Habs immer noch nicht ganz 100%.
Warum heißt es im Zähler:
[mm] \ldots (n-k)(n-k+1)\ldots [/mm] ? und nicht [mm] \ldots (n-k)(n-k-1)\ldots? [/mm] Zum Ende hin wird doch immer weniger von n abgezogen bis dann nur noch [mm] \ldots [/mm] (n-1)n .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:38 Di 23.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Lentio,
> Habs immer noch nicht ganz 100%.
>
> Warum heißt es im Zähler:
> [mm]\ldots (n-k)(n-k+1)\ldots[/mm] ? und nicht [mm]\ldots (n-k)(n-k-1)\ldots?[/mm]
> Zum Ende hin wird doch immer weniger von n abgezogen bis
> dann nur noch [mm]\ldots[/mm] (n-1)n .
habe ich gerade beantwortet.
Das "plus" stammte von Dir und ist hier falsch.
Es ist zwar eigentlich egal, ob man Fakultäten "vorwärts" oder "rückwärts" ausschreibt, aber üblich ist die Vorwärtsschreibweise, weil sie der Lesart der Produktschreibung entspricht: [mm] n!=\produkt_{k=1}^{n}k=1*2*...*(k-1)*k
[/mm]
Wenn Du gegen die Konvention "rückwärts" schreiben willst (durchaus möglich!), dann musst Du aber aufpassen, dass Du es auch korrekt tust. Das war hier nicht der Fall.
Grüße
reverend
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Hallo Lentio,
> Ich komme leider nicht auf diese Bruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^k}[/mm] = [mm]\bruch{n(n-1)(n-2)\cdots 3*2*1}{(n-k)(n-k+1)\cdots 3*2*1*n*n \cdots n}[/mm]
>
> WAs mache ich falsch?
Na, genau das, was Du dann weiter erfragt hast (s.u.): [mm] (n-k\red{+}1) [/mm] ist nicht richtig. Da muss [mm] (n-k\blue{-}1) [/mm] stehen.
Grüße
reverend
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