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| Aufgabe | | Es sei [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] eine konvergente Folge mit Grenzwert a>0. zeigen Sie, dass dann auch die folge [mm] $(b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_{n}=\wurzel[n]{a_{n}}$ [/mm] konvergiert und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=1$ [/mm] gilt. |
SERVUS erstmal
darf ich:
[mm] $b_{n}=\wurzel[n]{a_{n}}$
[/mm]
$ [mm] \gdw b_{n}^{n}=a_{n}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}^{n}= [/mm] a$
Heeeee????
Habs nirgednswo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Grüezi!
> Es sei [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine konvergente Folge mit
Die [mm] $a_n$ [/mm] sind sicher alle [mm] $\ge [/mm] 0$, oder?
> Grenzwert a>0. zeigen Sie, dass dann auch die folge
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_{n}=\wurzel[n]{a_{n}}[/mm] konvergiert
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=1[/mm] gilt.
> SERVUS erstmal
>
>
> darf ich:
> [mm]b_{n}=\wurzel[n]{a_{n}}[/mm]
> [mm]\gdw b_{n}^{n}=a_{n}[/mm]
Diese beiden Zeilen sind nur dann aequivalent, wenn [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] jeweils als [mm] $\ge [/mm] 0$ vorausgesetzt werden.
> [mm]\gdw b_{n}^{n}=a_{n}[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
Diese beiden Zeilen sind im allgemeinen nicht aequivalent! Die erste impliziert jedoch die zweite! (Zum Beispiel ist $0 [mm] \neq \frac{1}{n}$, [/mm] jedoch gilt [mm] $\lim [/mm] 0 = 0 = [mm] \lim \frac{1}{n}$.)
[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}^{n}= a[/mm]
>
> Heeeee????
Was ist denn? Warum sollte der Grenzwert von [mm] $b_n^n [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] nicht $a$ ergeben? Auch wenn dieses Ergebnis nichts mit der Aufgabenstellung zu tun hast, da sollst du ja schliesslich den Grenzwert von [mm] $b_n$ [/mm] untersuchen...
Zur Aufgabe selber: Du weisst, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x} [/mm] = 1$ ist fuer alle $x > 0$?
Da die Folge [mm] $a_n$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, gibt es ja ein [mm] $n_0$ [/mm] mit $0 < [mm] a_n [/mm] < 2 a$ fuer alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Dann gilt auch $0 = [mm] \sqrt[n]{0} [/mm] < [mm] b_n [/mm] = [mm] \sqrt[n]{a_n} [/mm] < [mm] \sqrt[n]{2 a}$. [/mm] Faellt dir was auf?
LG Felix
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Hmmm
dann steht da $ 0 < [mm] b_n [/mm] < 1 $
Hmm geht noch kein licht auf....
mir würde es was bringen wenn da [mm] 1<=b_n<=1
[/mm]
stehen würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Hmmm
>
> dann steht da [mm]0 < b_n < 1[/mm]
Einmal steht dann da $0 [mm] \le b_n \le [/mm] 1$, zum Beispiel gilt ja auch $0 < 1/n$ aber trotzdem [mm] $\lim [/mm] 0 = [mm] \lim [/mm] 1/n$.
Zum anderen: Da hab ich ein wenig nicht aufgepasst, 0 als untere Schranke war ein wenig zu klein... Jedoch gilt auch $0 < a/2 < [mm] a_n [/mm] < 2 a$ fuer fast alle $n$. Und [mm] $\sqrt[n]{a/2} \to [/mm] 1$ fuer $n [mm] \to \infty$... [/mm] :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 26.03.2006 | | Autor: | Mr.Peanut |
So jetzt passt es.
So nochmal VIELEN DANK. Bist ja fast Hauptamtlicher Fragenbeantworter.
Mich bist du fürs Erste los, schreibe Morgen die Klausur und dann erstmal 2 Wochen RICHTIG Ferien.
mfg Peanut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> So jetzt passt es.
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> So nochmal VIELEN DANK. Bist ja fast Hauptamtlicher
> Fragenbeantworter.
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> Mich bist du fürs Erste los, schreibe Morgen die Klausur
> und dann erstmal 2 Wochen RICHTIG Ferien.
Na, dann mal viel Erfolg bei der Klausur und hinterher nen schoenen Urlaub! 
LG Felix
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