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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 08.11.2005 | | Autor: | denwag |
hi, hab da eine aufgabe und weiß nicht sorecht wie ich es zeigen soll.
also fogende aufgabe:
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert:
[mm] a_{n} [/mm] := ( [mm] 7^{n} [/mm] - [mm] 5^{n} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] ) / ( 3 * [mm] 7^{n} [/mm] - [mm] 2^{n} [/mm] + 7 )
Ich hab folgendes:
Ich hab jetzt für n = 10 und n = 100 eingesetzt und damit sehe ich das die folge a(n) gegen 1/3 konvergiert.
wie kann ich das besser beweisen????
vieleicht mit der formel : | a(n) - a | = [mm] \varepsilon
[/mm]
ich komm da jedenfalls nicht weiter.
ansonsten reicht es wenn ich für den Grenzwert, dann folgendes schreibe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 7^{n} [/mm] - [mm] 5^{n} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] ) / ( 3 * [mm] 7^{n} [/mm] - [mm] 2^{n} [/mm] + 7 ) = 1/3
reicht das um zu zeigen das der grenzwert 1/3 ist?
danke für jede hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Di 08.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo denwag,
Deine Aussage aus Deiner letzten Zeile ist zwar richtig, aber durch Umschreiben des Bruches lässt sich dies auch zeigen. Klammere $ [mm] 7^{n} [/mm] $ jeweils aus Zähler und Nenner aus und Du erhälst für Dein Folgeglied
$ [mm] \bruch {7^{n} \cdot (1-({\bruch{5}{7}})^{n} + ({\bruch{2}{7}})^{n})}{7^{n}\cdot (3-({\bruch{2}{7}})^{n} + 7^{1-n})} [/mm] $
Nun kannst Du ohne Probleme den Vorfaktor [mm] 7^{n} [/mm] in Zähler und Nenner rauskürzen und dann sieht man, dass für jeden der Summanden in Zähler und Nenner, der eine Potenz von n sind, der Wert gegen 0 läuft für $ n [mm] \to \infty [/mm] $. Das sollte eigentlich als Beweis genügen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mi 09.11.2005 | | Autor: | denwag |
Danke vielmals!
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