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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Reute |
Es sei eine Folge [mm] (an)_{n \in N} [/mm] von reellen Zahlen rekursiv definiert durch
[mm] a_{0} [/mm] := 1, [mm] a_{1} [/mm] := 2 und
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] 3a_{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{25}{4} a_{n-2}
[/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 2. Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] = (0,1,2,...) gilt
[mm] a_{n} [/mm] = Re ( (1- [mm] \bruch{1}{4}i) [/mm] ( [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] 2i)^n) [/mm] ,
wobei i für imaginäre einheit und Re für den realteil steht!
Bitte helft mir ich habe es schon mit der Induktion versucht aber leider kommt bei mir da immer schrott heraus!!
Ach noch was, ist es richtig wenn es heißt: Bestimmen sie alle komplexen Zahlen, die konjugiert zu ihren Quadrat sind
[mm] \Rightarrow [/mm] z²= [mm] \overline{z} [/mm] ²
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Reute!
Wie sehen denn Deine Ansätze für die Induktion aus? Bitte poste diese doch mal, damit wir sie dann kontrollieren bzw. gemeinsam durchgehen können.
Beim Induktionsanfang kann es dann sein, dass Du mit $n \ = \ [mm] \red{3}$ [/mm] starten musst (ich habe das jetzt nicht nachgerechnet).
Zu Deiner 2. Frage:
Ich würde das eher interpretieren als:
[mm] $\overline{z} [/mm] \ = \ [mm] z^2$ $\gdw$ [/mm] $a-i*b \ = \ [mm] (a+i*b)^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 08.11.2005 | | Autor: | Reute |
Also der induktionsanfang habe ich gemacht mit n=2 das ging
[mm] -\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
also gelte für n =n [mm] a_{n}=((1-\bruch{1}{4}i)(\bruch{3}{2}+2i)^n)
[/mm]
induktionsschritt:
[mm] a_{n+1}=3a_{n+1-1}-\bruch{25}{4}a_{n+1-2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=3a_{n}-\bruch{25}{4}a_{n-1}
[/mm]
so und jetzt sehe ich oben [mm] a_{n} [/mm] und setzt ein
wie und dann komme ich nicht mehr weiter!
[mm] a_{n+1}=3((1-\bruch{1}{4}i)(\bruch{3}{2}+2i)^n) -\bruch{25}{4}a_{n-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 08.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Reute!
> Also der induktionsanfang habe ich gemacht mit n=2 das
> ging
> [mm]-\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> also gelte für n =n
> [mm]a_{n}=((1-\bruch{1}{4}i)(\bruch{3}{2}+2i)^n)[/mm]
>
> induktionsschritt:
>
> [mm]a_{n+1}=3a_{n+1-1}-\bruch{25}{4}a_{n+1-2}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=3a_{n}-\bruch{25}{4}a_{n-1}[/mm]
>
> so und jetzt sehe ich oben [mm]a_{n}[/mm] und setzt ein
> wie und dann komme ich nicht mehr weiter!
> [mm]a_{n+1}=3((1-\bruch{1}{4}i)(\bruch{3}{2}+2i)^n) -\bruch{25}{4}a_{n-1}[/mm]
Du kannst die Induktionsannahme auch für [mm] $a_{n-1}$ [/mm] einsetzen, allerdings musst du dafür einen doppelten Induktionsanfang machen für zwei aufeinanderfolgende Zahlen, in dem Fall wohl bei 1 und 2. Dann kannst du für beliebiges n annehmen, dass die Aussage für n und n-1 gilt.
Gruß taura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 08.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> also gelte für n =n
> [mm]a_{n}=((1-\bruch{1}{4}i)(\bruch{3}{2}+2i)^n)[/mm]
Beachte bitte, dass dies falsch ist. Hier fehlt der Realteil. Und genau das machte die Aufgabe so schwierig!
Ich denke aber hier könnte irgendwie die Beziehung
$Re(ab) = Re(a)Re(b) - Im(a)Im(b)$
helfen im Induktionsschluss, auch wenn ich es zugegebenermaßen noch nicht versucht habe.
Liebe Grüße
Stefan
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