Folg. monoton steigend/fallend < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Mi 04.07.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Untersuchen Sie ob die gegebenen Folgen monoton steigend bzw. monoton fallend sind.
a) $n -> [mm] n^2$
[/mm]
b) $n -> [mm] (n-5)^2 [/mm] - 10$
2. Geben Sie für die folgenden arithmetischen bzw. geometrischen Folgen an, ob sie monoton steigen oder fallend sind.
d) $a_10 = 13, d = -1$ |
Hallo zusammen,
hab so meine Probleme damit.
bei 1a) Behauptung [mm] $n^2$ [/mm] steigt
Beweis: [mm] $n^2 \le [/mm] n + 1$ | -n
$n [mm] \le [/mm] 1$
stimmt das dann so? was sagt mir dies?
bei 1b) Behauptung $n -> [mm] (n-5)^2 [/mm] - 10$ ist fallend
Beweis: [mm] $(n-5)^2 [/mm] - 10 [mm] \ge ((n+1)-5)^2 [/mm] - 10$ schreibt man dies dann so?
und bei 2d, wie bekomme ich dies heraus?
ich setze das doch hier ein: [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + (n-1)d$ -> $13 = [mm] a_1 [/mm] + (10-1)*(-1)$
wenn ich das ausrechne, bekomme ich für [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \bar [/mm] -1,4$, dies setze ich nun wieder ein und bestimme d, da kommt 1,6 raus. In der Lösung steht aber die Folge ist fallend, also müsste d < 0 sein. Wo liegt der Fehler?
Weiß jemand eine gute Seite wo erklärt ist, wie man beweist ob eine Folge steigt bzw. fällt?
Vielen Dank im Voraus.
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Um zu überprüfen ob eine Folge monoton steigend ist, muss gelten: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] > 1 . Dies sagt also aus, dass ein nächsthöheres Glied [mm] \forall \quad [/mm] n größer als der Vorgänger ist.
Bei 1a) [mm] \bruch{(n+1)^2}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+2n+1}{n^2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}. [/mm] Also ist die Folge monoton steigend. Für monoton fallend muss dementsprechend gelten: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < 1.
Versuche es bei der nächsten mal alleine, okay?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mo 09.07.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
danke für die Antwort, in meinem Mathebuch steht es so drin:
monoton steigend: [mm] $a_n \le a_n [/mm] + 1$
monoton fallend: [mm] $a_n \ge a_n [/mm] + 1$
für alle n aus IN*, für n muss ich doch nur n+1 einsetzen und dann auflösen und je nachdem ob steigend oder fallend größer oder kleiner verändern. was sagt mir dies?
zum Beispiel:
Behauptung: [mm] \bruch{3n}{2n-1} [/mm] ist monoton steigend
Beweis:
[mm] $\bruch{3n}{2n-1} \le a_n [/mm] + 1$
[mm] $\bruch{3n}{2n-1} \le \bruch{3(n+1}{2(n+1)-1}$
[/mm]
[mm] $\bruch{3n}{2n-1} \le \bruch{3n+3}{2n+1}$ [/mm] |* (2n-1)(2n+1)
$3n(2n+1) [mm] \le [/mm] (3n+3)(2n-1)$
[mm] $6n^2 [/mm] + 3n [mm] \le 6n^2 [/mm] - 3n + 6n -3$
$0 [mm] \le [/mm] -3$
somit ist die Folge nicht monoton steigend sondern fallend, weil 0 größer ist als -3, passt das dann so? wie kann ich vorher rauskriegen ob fallend oder steigend, ist muss doch für n nur natürliche Zahlen einsetzen und dann schauen ob fallend oder steigend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 09.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> danke für die Antwort, in meinem Mathebuch steht es so
> drin:
>
> monoton steigend: [mm]a_n \le a_n + 1[/mm]
Da steht eher so was wie [mm] a_{n}\le a_{n+1}, [/mm] was das Gleiche ist wie [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\le [/mm] 1 (beide Seiten durch [mm] a_{n+1} [/mm] geteilt).
> monoton fallend: [mm]a_n \ge a_n + 1[/mm]
Ebenso - [mm] a_{n}\ge a_{n+1}
[/mm]
> für alle n aus IN*, für n muss ich doch nur n+1 einsetzen
> und dann auflösen und je nachdem ob steigend oder fallend
> größer oder kleiner verändern. was sagt mir dies?
>
> zum Beispiel:
>
> Behauptung: [mm]\bruch{3n}{2n-1}[/mm] ist monoton steigend
>
> Beweis:
>
> [mm]\bruch{3n}{2n-1} \le a_n + 1[/mm]
>
> [mm]\bruch{3n}{2n-1} \le \bruch{3(n+1}{2(n+1)-1}[/mm]
Das ist z.B. richtig.
> [mm]\bruch{3n}{2n-1} \le \bruch{3n+3}{2n+1}[/mm] |* (2n-1)(2n+1)
>
> [mm]3n(2n+1) \le (3n+3)(2n-1)[/mm]
>
> [mm]6n^2 + 3n \le 6n^2 - 3n + 6n -3[/mm]
>
> [mm]0 \le -3[/mm]
>
> somit ist die Folge nicht monoton steigend sondern fallend,
> weil 0 größer ist als -3, passt das dann so?
Ja, das passt dann so.
> wie kann ich
> vorher rauskriegen ob fallend oder steigend, ist muss doch
> für n nur natürliche Zahlen einsetzen und dann schauen ob
> fallend oder steigend?
Normalerweise geht es nicht. Das ist auch nicht so wichtig - einfach nachrechnen, und zum Schluss nach Bedarf das Ungleichungszeichen umdrehen.
Bei deinem Post davor hast du folgendermaßen gerechnet:
[mm] n^{2}\le n^{2}+1 [/mm] und du hättest so rechnen sollen:
[mm] n^{2}\le (n+1)^{2}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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