Flussintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Fläche S [mm] \supset R^3 [/mm] entstehe aus der Bahnkurve von t [mm] \rightarrow (0,t,1-\wurzel{t}) \in R^3, [/mm] t [mm] \in \left[ 0,1 \right] [/mm] durch Rotation um die z-Achse. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes v(x,y,z) = [mm] ((x+y)^2,xy,x^2+y^2)^T [/mm] durch S. |
Hallo,
ich weiß nicht, womit ich parametrisieren soll.
Flussintegral berechnet sich [mm] durch\integral_{}^{} \,\integral_{S}^{} v\, [/mm] dO
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
|
|
| |
|
Hossa :)
Du musst zunächst die Fläche F parametrisieren, durch die das Vektorfeld strömt. Diese entsteht nach deinen Vorgaben aus der Rotation des Vektors
[mm] $t\to(0,t,1-\wurzel{t}) \in R^3\quad;\quad t\in[0;1]$
[/mm]
um die z-Achse. Dazu überlegst du dir, dass die z-Koordinate bei der Rotation um die z-Achse ungeändert bleibt. Die x-Koordinate ist immer 0. Wenn du von oben auf das Koordinatensystem schaust (die z-Achse zeigt aus dem Bildschirm auf dich), entsteht bei der Rotation ein Kreis mit einem Radius, der gleich der y-Koordinate ist. Also lautet die Parametrisierung der Kurve:
[mm] $\vec r(t,\varphi)=\left(\begin{array}{c}t\,\cos\varphi\\ t\,\sin\varphi\\ 1-\sqrt{t}\end{array}\right)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\,,\,t\in[0,1]$
[/mm]
Das totale Differential dieser Parametrisierung
[mm] $d\vec r(t,\varphi)=\frac{\partial\vec r}{\partial t}\,dt+\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi$
[/mm]
liegt tangential zur Fläche F an der Stelle [mm] $(t,\varphi)$. [/mm] Das lokale Flächenelement [mm] $d\vec [/mm] f$ wird aufgespannt durch die zwischen t und t+dt sowie zwischen [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\varphi+d\varphi$ [/mm] liegenden Punkte. Sie spannen das Flächenelement auf:
[mm] $d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial t}\,dt\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)$
[/mm]
Der Fluss des Feldes [mm] $v(x,y)=((x+y)^2,xy,x^2+y^2)^t$ [/mm] durch die beschriebene Fläche beträgt also:
[mm] $\Phi=\int\limits_F\vec v(x,y)\,d\vec f=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1}dt\;v\left(x(t,\varphi),y(t,\varphi)\right)\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial t}\times\frac{\partial r}{\partial\varphi}\right)$
[/mm]
Vor der Rechnung musst du in $v(x,y)$ noch [mm] $x=t\,\cos\varphi$ [/mm] und [mm] $y=t\,\sin\varphi$ [/mm] substituieren, um [mm] $v(t,\varphi)$ [/mm] zu erhalten.
Den Rest musst du nun nur noch ausrechnen...
Viel Spaß dabei und viele Grüße
Hasenfuss
|
|
|
|
