matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenFluss eines Vektorfeldes
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Fluss eines Vektorfeldes
Fluss eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fluss eines Vektorfeldes: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Di 10.12.2013
Autor: mathemak

Aufgabe
Paraboloid: [mm] $(x,y,z)^T \in \R^3$ [/mm] mit [mm] $9\,x^2 [/mm] + [mm] 9\,y^2 \le [/mm] z, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2$
Vektorfeld [mm] $(2\,xy, 2\,yz [/mm] - [mm] y^2, 2\,z^2)^T$ [/mm]
Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen Paraboloids (mit Deckel)

Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen Paraboloids (mit Deckel)

Meine Ansätze:

[mm] $\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A [/mm] = [mm] \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V$. [/mm]

[mm] $\mathrm{div}\,\vec{F} [/mm] = [mm] 2\,y [/mm] + [mm] 2\,z [/mm] - [mm] 2\,y [/mm] + [mm] 4\,z [/mm] = [mm] 6\,z$. [/mm]

Für den Paraboloid:
$x = [mm] \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)$ [/mm]
[mm] $y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)$ [/mm]
$z=z$

mit $ [mm] \phi \in [/mm] [0;2]$ und $z [mm] \in [/mm] [0;2]$

habe ich

[mm] $\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V [/mm] = [mm] 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi [/mm] = [mm] \frac{8}{3}\pi$. [/mm]  

Mein Lehramtsstudium liegt nun schon viele Jahre zurück, auch Ana III war ich drin -  dennoch wäre ich da für einen Tipp oder eine Korrektur ganz dankbar. Nein, sowas machen wir nicht in der Schule. Es hat mich nur jemand gefragt. Maple hat mir da auch nicht weitergeholfen, da 0 herauskommt.

Danke!

mathemak



        
Bezug
Fluss eines Vektorfeldes: Integrationsreihenfolge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:44 Mi 11.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag mathemak

> Paraboloid: [mm](x,y,z)^T \in \IR^3[/mm] mit [mm]9\,x^2 + 9\,y^2 \le z, 0 \le z \le 2[/mm]
>  
> Vektorfeld [mm](2\,xy, 2\,yz - y^2, 2\,z^2)^T[/mm]
>  Gesucht ist der
> Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen
> Paraboloids (mit Deckel)
>  Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des
> geschlossenen Paraboloids (mit Deckel)
>
> Meine Ansätze:
>  
> [mm]\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A = \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V[/mm].      [ok]
>
> [mm]\mathrm{div}\,\vec{F} = 2\,y + 2\,z - 2\,y + 4\,z = 6\,z[/mm].      [ok]
>  
> Für den Paraboloid:

(es heißt:  das Paraboloid)

>  [mm]x = \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)[/mm]    [haee]
>  
> [mm]y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)[/mm]    [haee]

Hier solltest du besser schon die Zylinderkoordinaten
betrachten:  In der Querschnittsfläche auf dem Niveau z
(mit [mm] 0\le{z}\le2 [/mm] ) gilt für  $\ [mm] r=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm]  die Ungleichung  $\ [mm] 0\le{r}\le [/mm] R(z)$ ,
wobei  [mm] R(z)=\frac{\sqrt{z}}{3}$ [/mm]

>  [mm]z=z[/mm]
>  
> mit [mm]\phi \in [0;2][/mm]   [notok]

du meinst:   [mm] $\phi\in [\,0\, ;\, 2\,\pi\,] [/mm]

> und [mm]z \in [0;2][/mm]    [ok]
>  
> habe ich
>  
> [mm]\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V = 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi = \frac{8}{3}\pi[/mm].      [notok]

Hier benützt du eine falsche Integrationsreihenfolge bzw.
falsche Grenzen !

Richtig wäre z.B.

    [mm] $\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{z\,=\,0}^2\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{z}} z*r\ \ d \,r\ d\,z\ d\,\phi}} [/mm] $

Wenn du deine Integrationsreihenfolge beibehalten
möchtest, wäre es:

    [mm] $\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}}\ \integral_{z\,=\,9\,r^2}^{2} z*r\ \ d \,z\ d\,r\ d\,\phi}} [/mm] $

LG,   Al-Chw.







Bezug
                
Bezug
Fluss eines Vektorfeldes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Mi 11.12.2013
Autor: mathemak

Hallo Al-Chwarizmi!

Danke für die Unterstützung!

>  >  
> > [mm]\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A = \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V[/mm].
>      [ok]
>  >

> > [mm]\mathrm{div}\,\vec{F} = 2\,y + 2\,z - 2\,y + 4\,z = 6\,z[/mm].  
>    [ok]
>  >  
> > Für den Paraboloid:
>  
> (es heißt:  das Paraboloid)
>  
> >  [mm]x = \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)[/mm]    [haee]

$x = [mm] \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\,\cos(\phi)$ [/mm]

und natürlich mit [mm] $\sin$ [/mm] (cut & paste)

[mm] $y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}\,\sin(\phi)$ [/mm]

$z=z$

ergibt auch das Paraboloid. Natürlich mit [mm] $\phi \in [0;2\pi]$. [/mm] War wohl doch zu spät.

[Dateianhang nicht öffentlich]

>  >  
> > [mm]y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)[/mm]    [haee]
>  
> Hier solltest du besser schon die Zylinderkoordinaten
>  betrachten:  In der Querschnittsfläche auf dem Niveau z
>  (mit [mm]0\le{z}\le2[/mm] ) gilt für  [mm]\ r=\sqrt{x^2+y^2}[/mm]  die
> Ungleichung  [mm]\ 0\le{r}\le R(z)[/mm] ,
> wobei  [mm]R(z)=\frac{\sqrt{z}}{3}$[/mm]

Ok.

>  
> >  [mm]z=z[/mm]

>  >  
> > mit [mm]\phi \in [0;2][/mm]   [notok]
>  
> du meinst:   [mm]$\phi\in [\,0\, ;\, 2\,\pi\,][/mm]
>
> > und [mm]z \in [0;2][/mm]    [ok]
>  >  
> > habe ich
>  >  
> > [mm]\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V = 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi = \frac{8}{3}\pi[/mm].
>      [notok]
>  
> Hier benützt du eine falsche Integrationsreihenfolge bzw.
>  falsche Grenzen !

Ja, stimmt.

>  
> Richtig wäre z.B.
>
> [mm]\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{z\,=\,0}^2\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{z}} z*r\ \ d \,r\ d\,z\ d\,\phi}}[/mm]
>  
> Wenn du deine Integrationsreihenfolge beibehalten
>  möchtest, wäre es:
>  
> [mm]\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}}\ \integral_{z\,=\,9\,r^2}^{2} z*r\ \ d \,z\ d\,r\ d\,\phi}}[/mm]

Danke!

mathemak

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]