Fluss durch Vektorfeld ... < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mi 09.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Mal grob gesagt: Es handelt sich um ein Tetraeder, durch wessen fordere(nur diese!) Fläche der Fluss berechnet werden soll, also durch ein Dreieck.
Das Vektorfeld:
[mm] \vec{v}(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{xy \\ yz \\ zx}
[/mm]
Das Dreieck wird mit den 3 Eckpunkten beschrieben:
(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)
Es soll der Fluss durch dieses Dreieck in Richtung des vom Ursprung weggerichteten Normalenvektors bestimmt werden.
Jo und ich weiss sogar wie das geht! Mit Satz von Gauss über das Tetraedervolumen minus den Fluss durch die drei Seitenflächen.
Jetzt wollt ich es aber auch gerne so lösen, indem ich das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Vektorfeld über die Oberfläche des Dreiecks integriere :
[mm] \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \vec{v} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] dA
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich nun diese Integration über die Fläche da beschreibe. Ich meine Volumenintegrale von Gebieten (z.B. 3 < x < 4, z < y < x/2, und so kram...) sind für mich keine Probleme aber irgendwie wenn ich die Fläche beschreiben will, das das ne Fläche ist dann krieg ich nen hänger.
Die Punkte auf dem Dreieck genügen ja noch der Gleichung x + y + z = 1.
Trotzdem, ich kanns nicht einbauen. Jedes mal hab ich nacher ein Integral über das Tetraeder Volumen und nicht die Fläche. Wie geh ich da vor?
Gruss&Dank Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mi 09.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. musst du n noch normieren.
2. kannst du über die Fläche dann integrieren, indem du über streifen parallel zu einer Seite integrierst. die dA sind dann kleine Parallelogramme in Seitenrichtungen, wobei die durch das kreuzprodukt der Einheitseitenvektoren*ds*dt gegeben sind.
Mach dir das durch ne Zeichnung klar.
anderer Weg, selbes Resultat, nimm als neues KOOs 2 Seitenrichtungen deines T. und die Normale
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 09.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich verstehs noch nich...bin schon so lange an der Aufgabe, wenn ich einen Menschen seh, dann seh ich ihn nur noch aus kleinen Flächenelementen dA aufgebaut und überlege wie ich am besten seine Körperoberfläche parametrisiere!!!; ).
Oh ja, stimmt, der Normalenvektor muss natürlich normiert werden!
Also ich habs so versucht wie du gesagt hast mit den Parallelogrammen:
Ich habe mit diejenigen gewählt, die parallel zur x,y-Ebene sind.
Die Länge l in Abhängkeit von z:
l(z) = [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2}*z, [/mm] z wird dann von 0 bis 1 integriert.
...jetzt ist das ja nur ne Länge. Ich will aber dA. Deshalb multipliziere ich das noch mit der infinit kleinen Höhe dh = dz * [mm] \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
(ich kann ja nicht einfach nur dz nehmen, sondern muss das entsprechend der Steigung des Dreiecks anpassen:
Zuerst [mm] dz*\wurzel{2} [/mm] gibt so ein kleines längenstück auf der Verbindungslinie von (1,0,0) zu (0,0,1)
Dann dieses noch mal [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] - jetzt liegt es auf der Ebene
...)
---------->
dA = l(z) * dh
= [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2}*z [/mm] * dz * [mm] \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
= [mm] dz*\wurzel{3}*(1-z) [/mm] = dA (???)
Ich hätte dann resultierend:
[mm] \integral_{0}^{1}{\vec{v}*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }} [/mm] dA
= [mm] \integral_{0}^{1}{\vec{v}*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }} \wurzel{3}*(1-z) [/mm] dz
(Alles) Quatsch, oder?
Haha aja und danke für den Tipp mit der Umwandlung in ein anderes Koordinatensystem, der ist leichter gesagt als getan!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \vec{dA}=\vec{e_n}*|dA| [/mm]
du kannst ein Quadrat dA'=dxdy von der x-y Ebene in die schräge Ebene projizieren. das Verhältnis ist dA/dA'=h/h'
wobei h und h' die höhen überderselben Grundseite [mm] s=\wurzel{2} [/mm] ist.
also h im gleichseitigen Dreieck [mm] h=s/2*\wurzel{3}
[/mm]
und h' im rechtwinkligen Dreieck Grudseite s ist h's/2
also h'/h= [mm] \wurzel{3}
[/mm]
damit [mm] dA=\wurzel{3}*dxdy
[/mm]
Damit wird dein Integral einfach.
Du musst nur noch z=1-x-y überall für z einsetzen, das innere Integral dx von 0 bis 1-y, dann dy von 0 bis 1
Alles klar, das mit den parallelogrammen war ein zu umständlicher umweg, da du sie ja direkt als projektion der xy Quadrate kriegst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 10.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jawohl, es stimmt!
Sagmal, allgemein, wie komme ich auf das [mm] \vec{n_{0}}*|dA| [/mm] ?
Wenn man die Funktion einer Fläche f(x,y) gegeben hat und darauf den Normalenvektor mit dem Betrag |dA| will, wie geht man da vor?
![[]](/images/popup.gif) Oberfälchenintegral
Gemäss diesem Artikel, kann ich die Fläche parametrisiert beschreiben als
[mm] \vektor{x \\ y \\ f(x,y) } [/mm]
Und somit den Normalenvektor inkl. Betrag als
[mm] \bruch{d}{dx} \vektor{x \\ y \\ f(x,y) } \times \bruch{d}{dy} \vektor{x \\ y \\ f(x,y) }
[/mm]
Das sähe in meinem Beispiel so aus:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \times \vektor{0 \\ 1 \\ -1 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm]
...fertig!
Haben wir es zu kompliziert gemacht, oder? Bin etwas verunsichert ob die Variante auch okay ist, weil wir es so umständlich gemacht haben. Danke für die Antworten...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 14.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Wollte die obige Miteilung doch gerne noch als Frage posten...
Stimmts, oder stimmts nicht mit der Methode?
Bin eben verunsichert, weil wirs so kompliziert gemacht haben mit dem Normalenvektor.
Gruss Qsxqsx
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Hallo!
Das ist völlig korrekt so, und eigentlich ist das auch die Standardmethode.
In deinem Beispiel wird es natürlich zu nem Problem, wenn deine Fläche plötzlich senkrecht zur x- oder y-Achse steht.
Aber das, was da bei Wiki steht, kannst du auch auch auf andere Koordinatensysteme anwenden.
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