matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis-Sonstiges > Fluß auf tpologischem Raum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Fluß auf tpologischem Raum
Fluß auf tpologischem Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fluß auf tpologischem Raum: Beweis verstehen
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:44 Mi 07.05.2014
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Hallo,

zunächst die Definition von "Fluss":

Sei M ein topologischer Raum und zu jedem x\in M gebe es ein offenes Intervall I(x)=(I_-(x),I_+(x))\subset\mathbb{R}. Setze E:=\bigcup_{x\in M}I(x)\times\left\{x\right\}\subset\mathbb{R}\times M. Eine Funktion \Phi\colon E\to M heißt Fluss auf  M wenn sie folgende Eigenschaften aufweist:

(i) E\subset\mathbb{R}\times M ist offen

(ii) \Phi\colon E\to M ist stetig

(iii) Für alle x\in M gilt 0\in I(x) und \Phi(0,x)=x

(iv) Für alle x\in M und  für alle t\in I(x) und s\in I(\Phi(t,x)) gilt s+t\in I(x) und \Phi(s,\Phi(t,x))=\Phi(s+t,x).


Jetzt die zu beweisende Aussage:

Sei \Phi ein Fluss auf einem topologischen Raum M. Seien x\in M und t\in I(x). Zeige, dass I(\Phi(t,x))=I(x)-t.

Hier ist ein Beweis, den ich in einem Buch gefunden habe:

Nach dem (iv) Flussaxiom gilt für jedes s\in I(\Phi(t,x)), dass s+t\in I(x), also gilt s\in I(x)-t, d.h. es gilt
\displaystyle I(\Phi(t,x))\subset I(x)-t. (*)

Also gilt I_+(\Phi(t,x))\leqslant I_+(x)-t. Angenommen, dass I_+(\Phi(t,x)).

Man wähle eine Folge (t_n)_n\subset I(\Phi(t,x)) mit \lim_n t_n=I_+(\Phi(t,x)) und definiere
\displaystyle x_n:=\Phi(t_n+t,x)~\forall n\in\mathbb{N}.
Da \Phi stetig ist, konvergiert die Folge (x_n)_n. Zudem folgt aus (*), dass
\displaystyle I_+(x_n)\leqslant I_+(\Phi(t,x))-t_n~\forall n\in\mathbb{N}.~~(++)
Wegen Flussaxiom (iv) muss 0\in I(x) für alle x\in M gelten, sodass folgt, dass
\displaystyle 0
Zudem ist die Funktion I_+\colon M\to (0,\infty] unterhalbstetig, sodass aus (++) folgt, dass
\displaystyle 0

Das ist ein Widerspruch, also muss I_+(\Phi(t,x))=I_+(x)-t gelten.

Analog zeigt man, dass I_-(\Phi(t,x))=I_-(x)-t.


----
Ich verstehe einige Dinge an diesem Beweis leider nicht.

1.) Wo genau benutzt der Beweis die Annahme. dass I_+(\Phi(t,x))?

2.) Was hat es mit den beiden Folgen (t_n)_n und (x_n)_n auf sich? Ich verstehe nicht, wieso man z.B. die Folge (x_n) gerade so definiert.



Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre es nett.


MfG

Wie gesagt, ich würde gerne diesen Beweis verstehen, hauptsächlich scheitert das bis jetzt an den beiden Frage, die ich gestellt habe.
        
Bezug
Fluß auf tpologischem Raum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 09.05.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]