Fluss Vektorfeld durch Fläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:30 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Kody |
| Aufgabe | | Berechne Fluss d. Feldes f(x,y,z)=(1,1,z(x²+y²)) durch die Fläche S={(x,y,z)|x²+y²=1, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1}. |
Ich hoffe, mir kann jemand meine Rechnung bestätigen oder widerlegen.
Gesucht ist also der Fluss [mm] \integral_{S}^{}{f dS} [/mm] .
Das ganze scheint ein Zylinder mit dem Radius r=1 zu sein. Wenn ich diesen mit Boden und Deckel begrenze, kann ich den Satz von Gauß anwenden.
mein Deckel D:={(x,y,z)|x²+y²=1, z=1}
Boden B:={x,y,z)|x²+y²=1, z=0}
Divergenz divf=x²+y²=1.
Mit Satz von Gauß: [mm] \integral_{}{}{div f dV} [/mm] = [mm] \integral_{S}^{}{f dS} [/mm] + [mm] \integral_{B}^{}{f dS} [/mm] + [mm] \integral_{D}{}{f dS}=\pi [/mm] [Volumen d. [mm] Zylinders=\pi*r²*h, [/mm] mit r=h=1].
Umformen nach [mm] \integral_{S}^{}{f} [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] \integral_{B}^{}{f} [/mm] - [mm] \integral_{D}{}{f}
[/mm]
Integral Boden wird wegen z=0 -> Null ergeben.
Für den Deckel parametrisiere ich P(x,y)=(x,y,1) [hier also für z=1 eingesetzt]
Der Normalenvektor des Deckels zeigt in positive z-richtung: n=(0,0,1).
[mm] \integral_{D}{}{f dS} [/mm] = [mm] \integral_{}{}{(1,1,x²+y²)*(0,0,1)dxdy}=\pi.
[/mm]
Somit wäre dann mein [mm] \integral_{S}^{}{f}=\pi [/mm] - 0 - [mm] \pi [/mm] = 0.
Aber kann das? Somit wäre der Fluss durch die Zylindermantelfläche = 0, durch den Boden auch 0, aber durch den Deckel = [mm] \pi?
[/mm]
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Hallo,
> Berechne Fluss d. Feldes f(x,y,z)=(1,1,z(x²+y²)) durch die
> Fläche S={(x,y,z)|x²+y²=1, 0 [mm] \le z\le [/mm] 1}[/mm].
> Ich hoffe, mir kann jemand meine Rechnung bestätigen oder
> widerlegen.
>
> Gesucht ist also der Fluss [mm]\integral_{S}^{}{f dS}[/mm] .
>
> Das ganze scheint ein Zylinder mit dem Radius r=1 zu sein.
> Wenn ich diesen mit Boden und Deckel begrenze, kann ich den
> Satz von Gauß anwenden.
>
> mein Deckel D:={(x,y,z)|x²+y²=1, z=1}
> Boden B:={x,y,z)|x²+y²=1, z=0}
>
Hmm, nicht ganz: es muss jeweils [mm] $x^2+y^2\le [/mm] 1$ sein.
> Divergenz divf=x²+y²=1.
auch das stimmt im inneren des zylinders nicht.
>
> Mit Satz von Gauß: [mm]\integral_{}{}{div f dV}[/mm] =
> [mm]\integral_{S}^{}{f dS}[/mm] + [mm]\integral_{B}^{}{f dS}[/mm] +
> [mm]\integral_{D}{}{f dS}=\pi[/mm] [Volumen d. [mm]Zylinders=\pi*r²*h,[/mm]
> mit r=h=1].
stimmt so nicht (s.o.), gauß ist aber richtig.
> Umformen nach [mm]\integral_{S}^{}{f}[/mm] = [mm]\pi[/mm] -
> [mm]\integral_{B}^{}{f}[/mm] - [mm]\integral_{D}{}{f}[/mm]
>
> Integral Boden wird wegen z=0 -> Null ergeben.
>
> Für den Deckel parametrisiere ich P(x,y)=(x,y,1) [hier also
> für z=1 eingesetzt]
>
> Der Normalenvektor des Deckels zeigt in positive
> z-richtung: n=(0,0,1).
>
> [mm]\integral_{D}{}{f dS}[/mm] =
> [mm]\integral_{}{}{(1,1,x²+y²)*(0,0,1)dxdy}=\pi.[/mm]
>
s.o., dein fehler zieht sich durch die aufgabe.
> Somit wäre dann mein [mm]\integral_{S}^{}{f}=\pi[/mm] - 0 - [mm]\pi[/mm] =
> 0.
>
> Aber kann das? Somit wäre der Fluss durch die
> Zylindermantelfläche = 0, durch den Boden auch 0, aber
> durch den Deckel = [mm]\pi?[/mm]
erstaunlicherweise stimmt das ergebnis aber wieder...  zumindest denke ich das, denn man kann sich eigentlich schon anschaulich überlegen, dass der fluß durch den mantel 0 ist. halte z fest, dann hängt das VF nur vom radius [mm] $x^2+y^2$ [/mm] ab, ist also entlang des mantels konstant. was reinfließt, fließt sozusagen gegenüber wieder raus.
am boden fließt nichts, das ist richtig, aber aus dem deckel gibt es einen fluß.
Somit stimmt deine antwort im prinzip, trotz einiger rechenfehler! 
gruß
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 02.01.2007 | | Autor: | Kody |
> > Divergenz divf=x²+y²=1.
>
> auch das stimmt im inneren des zylinders nicht.
Hallo,
kannst du mir sagen, warum die Divergenz nicht stimmt, bzw was dann richtig ist? Ich muss für die Divergenz doch nur 1d/dx + 1d/dy + z(x²+y²)d/dz rechnen, oder?
Gruß und Danke!
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> > > Divergenz divf=x²+y²=1.
> >
> > auch das stimmt im inneren des zylinders nicht.
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> Hallo,
> kannst du mir sagen, warum die Divergenz nicht stimmt, bzw
> was dann richtig ist? Ich muss für die Divergenz doch nur
> 1d/dx + 1d/dy + z(x²+y²)d/dz rechnen, oder?
das ist richtig, aber im inneren des zylinders ist nicht [mm] $x^2+y^2=1$.... [/mm] Jetzt klar?
gruß
>
> Gruß und Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mi 03.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wen bei deiner Fläche wirklich nur steht [mm] x^2+y^2=1 [/mm] dann gehören Deckel und Boden mit z=0 [mm] x^2+y^2\le1 [/mm] und z=1 [mm] x^2+y^2\le1 [/mm] NICHT dazu! und der fluss ist wegen der Symmetrie, "was links reingeht kommt rechts raus" ohne Rechnung 0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mi 03.01.2007 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Wenn bei deiner Fläche wirklich nur steht [mm]x^2+y^2=1[/mm] dann
> gehören Deckel und Boden mit z=0 [mm]x^2+y^2\le1[/mm] und z=1
> [mm]x^2+y^2\le1[/mm] NICHT dazu!
Dem stimme ich vollinhaltlich zu, ...
> und der fluss ist wegen der
> Symmetrie, "was links reingeht kommt rechts raus" ohne
> Rechnung 0
... aber diesem Argument eher nicht. Wegen der Symmetrie geht doch das, was links reingeht, auch rechts rein, nach meiner geometrischen Vorstellung könnte es durchaus einen Fluß durch die Zylinderfläche geben.
Aber vielleicht reden wir auch aneinander vorbei...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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