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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Fr 24.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechne für das Vektorfeld m = [mm] \pmat{ x^2 + y^2 + z^2 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \\ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 }
[/mm]
den Betrag des Flusses durch die Kreisscheibe:
P: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 , z=0 |
Ich dachte nun ich könnte hier über die Divergenz gehen:
div(m) = 2x + 4y + 6z
x = r * [mm] cos(\phi) [/mm] y = r * [mm] sin(\phi) [/mm] |J| = r
eingesetzt:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2\pi} [/mm] ((2r * [mm] cos(\phi) [/mm] + 4 [mm] r*sin(\phi))*r) d\phi [/mm] dr
Jedoch würd ich da 0 herausbekommen..
Laut Lösung sind es aber 3/2 [mm] \pi.
[/mm]
Vielen Dank nochmal..
Ich denk heut reichts dann auch mit Mathe mein Kopf qualmt schon und nichts klappt mehr..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 25.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich hab mich nun schon länger auf Fehlersuche begeben..
Die Parametrisierung des Kreises bzw Kreisscheibe müsste stimmen.
Betrag des Flusses bedeutet ja auch nur, dass ein positives Ergebnis herauskommt.
Bei der berechnete Divergenz bin ich mir auch ziehmlich sicher, dass sie stimmt.
Also muss etwas an meiner Methodik falsch sein?
Vielen Dank nochmal für eure Mühe
Es muss natürlich heißen:
m = [mm] \pmat{ x^2 + y^2 + z^2 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \\ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 }
[/mm]
Entschuldigt vielmals :(
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Hallo zocca21,
> Ich hab mich nun schon länger auf Fehlersuche begeben..
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> Die Parametrisierung des Kreises bzw Kreisscheibe müsste
> stimmen.
Ja, die stimmt auch.
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> Betrag des Flusses bedeutet ja auch nur, dass ein positives
> Ergebnis herauskommt.
>
> Bei der berechnete Divergenz bin ich mir auch ziehmlich
> sicher, dass sie stimmt.
Ja, die Divergenz stimmt auch.
Gauß kannst Du nur anwenden, wenn es sich um ein Volumen handelt.
>
> Also muss etwas an meiner Methodik falsch sein?
>
Verwende doch die Definition des
![[]](/images/popup.gif) skalaren Flusses eines Vektorfeldes.
> Vielen Dank nochmal für eure Mühe
>
>
> Es muss natürlich heißen:
>
> m = [mm]\pmat{ x^2 + y^2 + z^2 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \\ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 }[/mm]
>
> Entschuldigt vielmals :(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 25.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah ok.
Also der Satz von Gauss hilft komplizierte Berechnungen durch die Berechnung eines Volumenintegrals abzulösen.
Ich hatte z.B. die Aufgabenstellung den Fluss des Vektorfeldes m = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] durch die Einheitskreisscheibe P: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1.
Hier konnte ich mit Gauss leicht den Fluss berechnen.
Woran seh ich in der Aufgabenstellung ob es sich um ein Volumen handelt, denn für mich sehn die Aufgabenstellungen von gerade und dieser Aufgabe sehr ähnlich aus.
Danke sehr!!
Viele Grüße
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Hallo zocca21,
> Ah ok.
>
> Also der Satz von Gauss hilft komplizierte Berechnungen
> durch die Berechnung eines Volumenintegrals abzulösen.
>
> Ich hatte z.B. die Aufgabenstellung den Fluss des
> Vektorfeldes m = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] durch die
> Einheitskreisscheibe P: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1.
>
> Hier konnte ich mit Gauss leicht den Fluss berechnen.
Hier ist die Einheitskreisscheibe ein Volumen im Sinne des [mm]\IR^{2}[/mm]
Während sie kein Volumen im Sinne des [mm]\IR^{3}[/mm] darstellt.
>
> Woran seh ich in der Aufgabenstellung ob es sich um ein
> Volumen handelt, denn für mich sehn die Aufgabenstellungen
> von gerade und dieser Aufgabe sehr ähnlich aus.
>
> Danke sehr!!
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 25.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Kann man dann also pauschal sagen, dass man mit Gauss mit einem Vektorfeld [mm] \IR^3 [/mm] auch nur den Fluss durch etwas 3-dimensionales berechnen kann.
Bzw. ein [mm] \IR^2 [/mm] Vektorfeld nur den Fluss durch etwas 2-dimensionales wie eine Kreisscheibe.
Vielen Dank!
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Hallo zocca21,
> Kann man dann also pauschal sagen, dass man mit Gauss mit
> einem Vektorfeld [mm]\IR^3[/mm] auch nur den Fluss durch etwas
> 3-dimensionales berechnen kann.
>
> Bzw. ein [mm]\IR^2[/mm] Vektorfeld nur den Fluss durch etwas
> 2-dimensionales wie eine Kreisscheibe.
Ja, das kann man so sagen.
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 06.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
OK, also nun nochmal zu der Aufgabe:
Es wird also über das Integral
[mm] \integral [/mm] m * dP
[mm] \integral \pmat{ x^2 + y^2 + z^2 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \\ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 } [/mm] * dP
Stimmt das so? Ich hab noch nicht ganz durchgestiegen aus der Wikipedia Erklärung..ich muss das mal an einem Beispiel durchrechnen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du integrierst beim fluss durch eine Fläche über die komponente des Vektorfeldes, di senkrecht durch die fläche tritt also [mm] \vec(V)*\vec{dA} [/mm] da
hier ist |dA|=dxdy bzw [mm] =rdrd\phi [/mm] und die Richtung [mm] (0,0,1)^T [/mm] also musst du wegen z=0 nur über [mm] 3r^2*rdrf\phi [/mm] integrieren.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du integrierst beim fluss durch eine Fläche über die komponente des Vektorfeldes, di senkrecht durch die fläche tritt also [mm] \vec(V)*\vec{dA} [/mm] da
hier ist |dA|=dxdy bzw [mm] =rdrd\phi [/mm] und die Richtung [mm] (0,0,1)^T [/mm] also musst du wegen z=0 nur über [mm] 3r^2*rdrd\phi [/mm] integrieren.
gruss leduart
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> Berechne für das Vektorfeld m = [mm]\pmat{ x^2 & y^2 & z^2 \\
2x^2 & 2y^2 & 2z^2 \\
3x^2 & 3y^2 & 3z^2 }[/mm]
Hallo,
die Matrix irritiert mich.
Gruß v. Angela
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Hallo zocca21,
> Berechne für das Vektorfeld m = [mm]\pmat{ x^2 + y^2 + z^2 \\ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \\ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 }[/mm]
>
> den Betrag des Flusses durch die Kreisscheibe:
> P: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1 , z=0
>
> Ich dachte nun ich könnte hier über die Divergenz gehen:
> div(m) = 2x + 4y + 6z
> x = r * [mm]cos(\phi)[/mm] y = r * [mm]sin(\phi)[/mm] |J| = r
> eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2\pi}[/mm] ((2r * [mm]cos(\phi)[/mm] + 4
> [mm]r*sin(\phi))*r) d\phi[/mm] dr
>
> Jedoch würd ich da 0 herausbekommen..
>
> Laut Lösung sind es aber 3/2 [mm]\pi.[/mm]
Siehe dazu hier.
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> Vielen Dank nochmal..
> Ich denk heut reichts dann auch mit Mathe mein Kopf qualmt
> schon und nichts klappt mehr..
Gruss
MathePower
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