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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 21.03.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] A_{1} [/mm] entsteht aus einem Halbkreis mit Radius r > 0 in dem man einen Halbkreis mit Radius [mm] \bruch{r}{2} [/mm] von links neben dem Mittelpunkts entfernt und rechts von ihm unten anfügt. Diese Konstruktion wird analog für [mm] A_{2}, A_{3}, [/mm] ... fortgesetzt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von [mm] \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} [/mm] durch Grenzübergang n [mm] \rightarrow \infty. [/mm] |
Hallo,
ich möchte obige Aufgabe lösen und hätte da folgenden Lösungsvorschlag:
[mm] \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\summe_{k=0}^{n}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})
[/mm]
und [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}=\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})=\bruch{\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{r^{2}}{2^{2k}}=\bruch{r^{2}\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2k}}=???
[/mm]
Weiter komme ich ned. Wer kann mir Tipps geben?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A_{1}[/mm] entsteht aus einem Halbkreis mit Radius r > 0 in dem
> man einen Halbkreis mit Radius [mm]\bruch{r}{2}[/mm] von links neben
> dem Mittelpunkts entfernt und rechts von ihm unten anfügt.
> Diese Konstruktion wird analog für [mm]A_{2}, A_{3},[/mm] ...
> fortgesetzt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von
> [mm]\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}[/mm] durch Grenzübergang n
> [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obige Aufgabe lösen und hätte da folgenden
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\summe_{k=0}^{n}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> und
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}=\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})=\bruch{\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{r^{2}}{2^{2k}}=\bruch{r^{2}\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2k}}=???[/mm]
>
> Weiter komme ich ned. Wer kann mir Tipps geben?
Über prüfe , ob Du den Flächeninhalt von [mm] A_k [/mm] wirklich richtig hast. Ich hab nämlich etwas anderes.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2k}}= \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{4})^k
[/mm]
Geometrische Reihe !
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 21.03.2014 | | Autor: | piriyaie |
Ich kann mir doch die Lücke die das [mm] A_{k+1}te [/mm] Glied darstellt wegdenken, da ich diese ja auffülle indem ich die hälfte der Fläche vom zweiten Halbkreis dazuaddiere. Da steht ja: "... in dem man einen Halbkreis mit Radius [mm] \bruch{r}{2} [/mm] von links neben dem Mittelpunkts entfernt und rechts von ihm unten anfügt." Somit sieht doch meine Flächensumme wie folgt aus:
[mm] r^{2}\cdot \bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{2}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{4}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{8}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{16}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{32}\cdot\bruch{\pi}{2}+...
[/mm]
Und das ist doch gleich [mm] \summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2}) [/mm] wenn ich es bis ins unendliche machen würde...
Oder denkst du das ist falsch?
Achja und das mit der geometrischen Reihe haben meine Studentenaugen wohl nicht gesehen...
Als Grenzwert würde ich dann rausbekommen: [mm] \bruch{2\cdot r^{2}\pi}{3}
[/mm]
Passt das dann so???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich kann mir doch die Lücke die das [mm]A_{k+1}te[/mm] Glied
> darstellt wegdenken, da ich diese ja auffülle indem ich
> die hälfte der Fläche vom zweiten Halbkreis dazuaddiere.
> Da steht ja: "... in dem man einen Halbkreis mit Radius
> [mm]\bruch{r}{2}[/mm] von links neben dem Mittelpunkts entfernt und
> rechts von ihm unten anfügt." Somit sieht doch meine
> Flächensumme wie folgt aus:
>
> [mm]r^{2}\cdot \bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{2}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{4}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{8}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{16}\cdot\bruch{\pi}{2}+\bruch{r^{2}}{32}\cdot\bruch{\pi}{2}+...[/mm]
naja, ich würde das so sehen:
Bei
[mm] $A_1$
[/mm]
haben wir den gleichen Flächeninhalt wie beim Halbkreis, da wir ja nur ein
Stück des Halbkreises *rausnehmen und außerhalb des Halbkreises umverlegen*.
Mir ist aber schon gar nicht klar, wie die Konstruktion da zu verstehen ist.
Alleine schon, weil gar nicht erklärt wird, wie der Halbkreis da aussieht,
also ob es quasi "die obere Hälfte" eines Halbkreises ist, "die untere Hälfte"
oder die Hälfte, die man hat, wenn man einen Halbkreis irgendwie in der
Ebene *verdreht* denkt.
Und nehmen wir mal an, wir haben nur eine obere Halbkreishälfte: Wird
dann das rausgeschnittene Stück nochmal "gespiegelt", bevor es drangeklebt
wird, oder wie ist das zu verstehen...
Jetzt kann man sich sicher überlegen, ob das überhaupt eine Rolle für die
Aufgabe spielt. Aber unabhängig davon wäre es sinnvoll, wenn die Konstruktion,
die da nur in Worten beschrieben wird, auch mal skizziert wird. Denn ich
denke, dass gerade dabei vielleicht klar wird, wo Deine und Freds Gedanken
*unterschiedlich* verlaufen.
Gruß,
Marcel
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
tut mir leid wenn ich mich erst heute wieder melde aber die Tage waren leider voller anderer Termine.
Nun kann ich mich der Aufgabe wieder zuwenden. Und zwar habe ich jetzt eine Skizze gezeichnet.
Stimmt jetzt mein Lösungsvorschlag? Oder habe ich da einen kompletten Denkfehler?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 25.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]A_{1}[/mm] entsteht aus einem Halbkreis mit Radius r > 0 in dem
> man einen Halbkreis mit Radius [mm]\bruch{r}{2}[/mm] von links neben
> dem Mittelpunkts entfernt und rechts von ihm unten anfügt.
> Diese Konstruktion wird analog für [mm]A_{2}, A_{3},[/mm] ...
> fortgesetzt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von
> [mm]\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}[/mm] durch Grenzübergang n
> [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obige Aufgabe lösen und hätte da folgenden
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\summe_{k=0}^{n}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
hier machst Du formal etwas falsch:
[mm] $\bigcup_{k=1}^n A_K$
[/mm]
ist eine Menge, deren Flächeninhalt Du berechnen willst. Wenn dann [mm] $\lambda$
[/mm]
das entpsrechende Maß ist, willst Du sowas machen wie
[mm] $\lambda\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)=\sum_{k=1}^n \lambda(A_k)\,,$
[/mm]
was sich mit der Disjunktheit der [mm] $A_k$ [/mm] begründet. Und warum Du das
zuerst mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] machst, weiß ich nicht - Du hast ja eh eine abzählbare
Vereinigung...
Also:
[mm]\red{\lambda\left(\black{\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}}\right)}=...=\summe_{k=0}^{n}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
> und
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}=\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{r}{2^{k}})^{2}\cdot\bruch{\pi}{2})=\bruch{\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{r^{2}}{2^{2k}}=\bruch{r^{2}\pi}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2k}}=???[/mm]
Auch hier fehlt linkerhand wieder das [mm] "$\lambda(...)$". [/mm]
Gruß,
Marcel
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