Flächenkurve < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich bin neu hier und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Gegeben ist eine schiefe geschlossene Regelschraubfläche:
[mm]
f(u_1,u_2)=(u_2*cos(u_1), u_2*sin(u_1), p*u_1+a*u_2)^t
[/mm]
Eine Flächenkurve daraus ist:
[mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(t*cos(t), t*sin(t), t^2)^t
[/mm]
Der Tangentenvektor der Flächenkurve an der Stelle [mm] P_0[/mm] (t=[mm]\pi/2[/mm]) entsteht aus der Kettenregel:
[mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
Das ist recht logisch, da der Tangentenvektor der Kurve sicherlich in der Tangentialebene an diesem Punkt [mm]P_0[/mm] liegen muss.
[mm]
\bruch{\partial f}{\partial u_1}=(-u_2*sin(u_1), u_2*cos(u_1), p)^t
[/mm]
[mm]
\bruch{\partial f}{\partial u_2}=(cos(u_1), sin(u_1), a)^t
[/mm]
Meine Frage ist, wie komme ich zu den Werten
[mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
[mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
Der Vektor [mm]v=(v_1,v_2)^t[/mm] mit [mm]v_1=\bruch{du_1}{dt}[/mm] und [mm]v_2=\bruch{du_2}{dt}[/mm] ist der Tangentenvektor im zugehörigen Parametergebiet.
Ich weiß leider nicht wie ich diese errechnen kann.
Weiters muss ich in diesem Punkt die geodätische Krümmung berechnen:
[mm]
\kappa_g=\left\|\ddot{u^k}+\dot{u^i}\times\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\|
[/mm]
für k,i,j von 1-2;
Wie berechnet man in diesem Fall:
[mm]
\ddot{u^k}
[/mm]
und
[mm]
\dot{u^i}
[/mm]
Das Christoffelsymbol kann ich berechnen.
VIELEN DANK
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/default3.html?call=searchbb.php?noop=0&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.at%2Fsearch%3Fsourceid%3Dnavclient%26hl%3Dde%26ie%3DUTF-8%26rlz%3D1T4GGIC_deAT230AT267%26q%3Dforum%2Bmatheplanet]
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Hallo chicken2008,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich bin neu hier und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
> Gegeben ist eine schiefe geschlossene Regelschraubfläche:
>
> [mm]
f(u_1,u_2)=(u_2*cos(u_1), u_2*sin(u_1), p*u_1+a*u_2)^t
[/mm]
>
> Eine Flächenkurve daraus ist:
>
> [mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(t*cos(t), t*sin(t), t^2)^t
[/mm]
>
> Der Tangentenvektor der Flächenkurve an der Stelle [mm]P_0[/mm]
> (t=[mm]\pi/2[/mm]) entsteht aus der Kettenregel:
>
> [mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
>
> Das ist recht logisch, da der Tangentenvektor der Kurve
> sicherlich in der Tangentialebene an diesem Punkt [mm]P_0[/mm]
> liegen muss.
>
> [mm]
\bruch{\partial f}{\partial u_1}=(-u_2*sin(u_1), u_2*cos(u_1), p)^t
[/mm]
>
> [mm]
\bruch{\partial f}{\partial u_2}=(cos(u_1), sin(u_1), a)^t
[/mm]
>
> Meine Frage ist, wie komme ich zu den Werten
>
> [mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
>
> [mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
Berechne die Ableitung von [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] bzw. [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] nach t.
>
> Der Vektor [mm]v=(v_1,v_2)^t[/mm] mit [mm]v_1=\bruch{du_1}{dt}[/mm] und
> [mm]v_2=\bruch{du_2}{dt}[/mm] ist der Tangentenvektor im zugehörigen
> Parametergebiet.
>
> Ich weiß leider nicht wie ich diese errechnen kann.
> Weiters muss ich in diesem Punkt die geodätische Krümmung
> berechnen:
>
> [mm]
\kappa_g=\left\|\ddot{u^k}+\dot{u^i}\times\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\|
[/mm]
> für k,i,j von 1-2;
>
> Wie berechnet man in diesem Fall:
> [mm]
\ddot{u^k}
[/mm]
Das ist die zweite Ableitung [mm]u^{k}\left(t\right)[/mm] nach t.
> und
> [mm]
\dot{u^i}
[/mm]
Das ist die erste Ableitung [mm]u^{j}\left(t\right)[/mm] nach t.
> Das Christoffelsymbol kann ich berechnen.
>
> VIELEN DANK
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://matheplanet.com/default3.html?call=searchbb.php?noop=0&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.at%2Fsearch%3Fsourceid%3Dnavclient%26hl%3Dde%26ie%3DUTF-8%26rlz%3D1T4GGIC_deAT230AT267%26q%3Dforum%2Bmatheplanet]
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower
> > [mm]
f(u_1,u_2)=(u_2*cos(u_1), u_2*sin(u_1), p*u_1+a*u_2)^t
[/mm]
> > Eine Flächenkurve daraus ist:
> >[mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(u_2(t)*cos(u_1(t)), u_1(t)*sin(u_2(t)), p*u_1(t)+a*u_2(t))^t
[/mm]
> > [mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
> > Meine Frage ist, wie komme ich zu den Werten
> >
> > [mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
> >
> > [mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
>
>
> Berechne die Ableitung von [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] bzw.
> [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] nach t.
>
Das Ergebnis davon sollten doch je eine reelle Zahl sein? Ich weiß jedoch nicht wie ich diese in diesem Beispiel bekomme.
> [mm]
\kappa_g=\left\|\ddot{u^k}+\dot{u^i}\times\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\|
[/mm]
> > für k,i,j von 1-2;
> >
> > Wie berechnet man in diesem Fall:
> > [mm]
\ddot{u^k}
[/mm]
>
> Das ist die zweite Ableitung [mm]u^{k}\left(t\right)[/mm] nach t.
>
Wie schaut das konkret aus in diesem Beispiel?
Vielen Dank
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Hallo chicken2008,
> Hallo MathePower
>
>
> > > [mm]
f(u_1,u_2)=(u_2*cos(u_1), u_2*sin(u_1), p*u_1+a*u_2)^t
[/mm]
> > > Eine Flächenkurve daraus ist:
> > >[mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(u_2(t)*cos(u_1(t)), u_1(t)*sin(u_2(t)), p*u_1(t)+a*u_2(t))^t
[/mm]
>
> > > [mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
>
>
>
> > > Meine Frage ist, wie komme ich zu den Werten
> > >
> > > [mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
> > >
> > > [mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
> >
> >
> > Berechne die Ableitung von [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] bzw.
> > [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] nach t.
> >
>
> Das Ergebnis davon sollten doch je eine reelle Zahl sein?
> Ich weiß jedoch nicht wie ich diese in diesem Beispiel
> bekomme.
>
>
>
> >
> [mm]
\kappa_g=\left\|\ddot{u^k}+\dot{u^i}\times\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\|
[/mm]
> > > für k,i,j von 1-2;
> > >
> > > Wie berechnet man in diesem Fall:
> > > [mm]
\ddot{u^k}
[/mm]
> >
> > Das ist die zweite Ableitung [mm]u^{k}\left(t\right)[/mm] nach t.
> >
>
> Wie schaut das konkret aus in diesem Beispiel?
Offensichtlich ist
[mm]c\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}[/mm]
Was ist aber [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] bzw. [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] ?
Zur Bestimmung der Ableitung benutze doch bitte die Kettenregel, ,Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel allein oder in Kombination mit anderen Regeln.
Wir können dann die Ableitungen kontrollieren, ob diese so richtig sind
>
> Vielen Dank
Gruß
MathePower
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Danke MathePower für deine schnellen antworten.
> >[mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(u_2(t)*cos(u_1(t)), u_1(t)*sin(u_2(t)), p*u_1(t)+a*u_2(t))^t
[/mm]
> > [mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
> Wir können dann die Ableitungen kontrollieren, ob diese so
> richtig sind
[mm]
\dot{c}(t)= \vektor{-u_2*sin(u_1)\\u_2*cos(u_1)\\p}\times\bruch{du_1}{dt}+ \vektor{cos(u_1)\\sin(u_1)\\a}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
im Punkt
[mm]
P_0(t=\pi/2)
[/mm]
wie komme ich zu den Werten
[mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
[mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
wenn ich das weiß, so kann ich sofort weiterrechnen. Danke
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Hallo chicken2008,
> Danke MathePower für deine schnellen antworten.
>
>
> > >[mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(u_2(t)*cos(u_1(t)), u_1(t)*sin(u_2(t)), p*u_1(t)+a*u_2(t))^t
[/mm]
> > > [mm]
\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
>
>
> > Wir können dann die Ableitungen kontrollieren, ob diese so
> > richtig sind
>
> [mm]
\dot{c}(t)= \vektor{-u_2*sin(u_1)\\u_2*cos(u_1)\\p}\times\bruch{du_1}{dt}+ \vektor{cos(u_1)\\sin(u_1)\\a}\times\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
>
> im Punkt
> [mm]
P_0(t=\pi/2)
[/mm]
> wie komme ich zu den Werten
> [mm]
\bruch{du_1}{dt}
[/mm]
> [mm]
\bruch{du_2}{dt}
[/mm]
> wenn ich das weiß, so kann ich sofort weiterrechnen. Danke
Berechne die Ableitung [mm]\bruch{du_{1}\left(t\right)}{dt}[/mm] an der Stelle [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm]. Desgleichen für [mm]\bruch{du_{2}\left(t\right)}{dt}[/mm].
Dasselbe gilt natürlich auch für die zweiten Ableitungen.
Oder was willst Du konkret?
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower
Das bedeutet der Tangentenvektor ist:
[mm]
\dot{c}(\pi/2)= \vektor{-\pi/2*sin(\pi/2)\\\pi/2*cos(\pi/2)\\p}+ \vektor{cos(\pi/2)\\sin(\pi/2)\\a}
[/mm]
folglich:
[mm]
\dot{c}(\pi/2)= \vektor{-\pi/2*sin(\pi/2)+cos(\pi/2)\\\pi/2*cos(\pi/2)+sin(\pi/2)\\p+a}
[/mm]
?
Was davon ist jetzt [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] bzw. [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] nach t?
Was wäre die zweite Ableitung [mm]u_{k}\left(t\right)[/mm] nach t?
Praktisch kenn ich mich halt leider überhaupt nicht aus.
Vielen Dank
Martin
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Hi,
> Ich bin neu hier und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
> Gegeben ist eine schiefe geschlossene Regelschraubfläche:
>
> [mm]
f(u_1,u_2)=(u_2*cos(u_1), u_2*sin(u_1), p*u_1+a*u_2)^t
[/mm]
>
> Eine Flächenkurve daraus ist:
>
> [mm]
c(u_1(t),u_2(t))=(t*cos(t), t*sin(t), t^2)^t
[/mm]
>
bist du sicher, dass du das richtig gepostet hast? fuer mich sieht das so aus, als dass die kurve im parametergebiet durch [mm] $u_1(t)=u_2(t)=t$ [/mm] gegeben ist. allerdings passt das nur fuer die ersten beiden komponenten der raumkurve und nicht fuer die dritte.
sieht fuer mich deshalb nach einem (tipp)-fehler aus.
gruss
matthias
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wahrscheinlich hast du recht:
gegeben in parameterdarstellung:
$ [mm] x(u_1,u_2)=\vektor{u_2\cdot{}cos(u_1)\\ u_2\cdot{}sin(u_1)\\p\cdot{}u_1+a\cdot{}u_2} [/mm] $
weiters ist durch die parameterdarstellung eine flächenkurve k gegeben:
$ [mm] x(u(t),v(t))=\vektor{t\\t} [/mm] $
ges: tangentenvektor der flächenkurve im punkt $ [mm] P_0 [/mm] $(t=$ [mm] \pi/2 [/mm] $):
$ [mm] \dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt} [/mm] $
wo
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial u_1}=(-u_2\cdot{}sin(u_1), u_2\cdot{}cos(u_1), p)^t [/mm] $
und
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial u_2}=(cos(u_1), sin(u_1), a)^t [/mm] $
ist.
wie errechne ich: [mm] $\bruch{du_1}{dt} [/mm] $
ges: im selben punkt [mm] $P_0$ [/mm] die geodätische krümmung der kurve k.
Da vermute ich, dass ich folgende DGL ausrechnen muss:
$ [mm] \kappa_g=\summe_{k=1}^{2}$ [/mm] von
[mm] $\left\|\ddot{u^k}+\summe_{i,j=1}^{2}\dot{u^i}\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\| [/mm] $
nur weiß ich leider nicht, wie ich [mm] $\ddot{u^k}$ [/mm] und [mm] $\dot{u^j}$ [/mm] berechne. mir hilft es nichts wenn ich weiß, dass ist die zweite ableitung nach t. ein mal müsste ich die rechnung dazu sehen, dann kann und werde ich selber weiterrechnen. danke
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> wahrscheinlich hast du recht:
> gegeben in parameterdarstellung:
> [mm]x(u_1,u_2)=\vektor{u_2\cdot{}cos(u_1)\\ u_2\cdot{}sin(u_1)\\p\cdot{}u_1+a\cdot{}u_2}[/mm]
>
> weiters ist durch die parameterdarstellung eine
> flächenkurve k gegeben:
> [mm]x(u(t),v(t))=\vektor{t\\t}[/mm]
>
> ges: tangentenvektor der flächenkurve im punkt [mm]P_0 [/mm](t=[mm] \pi/2 [/mm]):
>
> [mm]\dot{c}(t)= \bruch{\partial f}{\partial u_1}\times\bruch{du_1}{dt}+ \bruch{\partial f}{\partial u_2}\times\bruch{du_2}{dt}[/mm]
>
> wo
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial u_1}=(-u_2\cdot{}sin(u_1), u_2\cdot{}cos(u_1), p)^t[/mm]
>
> und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial u_2}=(cos(u_1), sin(u_1), a)^t[/mm]
>
> ist.
> wie errechne ich: [mm]\bruch{du_1}{dt}[/mm]
ist doch klar. wenn [mm] $u_i(t)=t$, [/mm] dann ist [mm] $u_i'=1$ [/mm] usw.
> ges: im selben punkt [mm]P_0[/mm] die geodätische krümmung der
> kurve k.
> Da vermute ich, dass ich folgende DGL ausrechnen muss:
> [mm]\kappa_g=\summe_{k=1}^{2}[/mm] von
nein, das brauchst du nicht. du hast ja eine kurve gegeben und sollst nicht eine geodätische berechnen. wenn du aber deine kurve in den ausdruck unten einsetzt, solltest du die geodaetische kruemmung erhalten.
>
> [mm]\left\|\ddot{u^k}+\summe_{i,j=1}^{2}\dot{u^i}\dot{u^j}\Gamma_{ij}^k \right\|[/mm]
gruss
matthias
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super,
ich werds einmal rechnen und melde mich dann wieder.. hab heute leider keine zeit.
ich hab zum selben beispiel noch ein weiteres problem:
geg: durch die parameterdarstellung
$ v(t)=t [mm] \times x_{,1} [/mm] + [mm] e^t \times x_{,2}$
[/mm]
ein Vektorfeld längs k bestimmt. (k ist die geg. flächenkurve)
ges: der vektor, der durch absolute parallelverschiebung von [mm] $\bruch{D_v}{dt}$ [/mm] von k in [mm] $P_0$ [/mm] länges der [mm] $u_1$-linie [/mm] durch [mm] $P_0$ [/mm] in den Punkt [mm] $P_1$($u_1^0=\pi$) [/mm] entsteht.
Da kenn ich mich leider nicht aus.
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> super,
> ich werds einmal rechnen und melde mich dann wieder.. hab
> heute leider keine zeit.
>
> ich hab zum selben beispiel noch ein weiteres problem:
> geg: durch die parameterdarstellung
>
> [mm]v(t)=t \times x_{,1} + e^t \times x_{,2}[/mm]
>
> ein Vektorfeld längs k bestimmt. (k ist die geg.
> flächenkurve)
>
> ges: der vektor, der durch absolute parallelverschiebung
> von [mm]\bruch{D_v}{dt}[/mm] von k in [mm]P_0[/mm] länges der [mm]u_1[/mm]-linie
> durch [mm]P_0[/mm] in den Punkt [mm]P_1[/mm]([mm]u_1^0=\pi[/mm]) entsteht.
>
> Da kenn ich mich leider nicht aus.
tja, dann such mal in deiner VL nach dem kapitel ueber paralleltransport und der zugehoerigen DGL. DGL aufstellen und dann schauen wir weiter.
gruss
Matthias
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Vielen Dank ür die Unterstützung. Der letzte Punkt hat sich erübrigt.
mfg
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