Flächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Flächenintegral
[mm] \integral_{\partial\lambda}^{}{F(x)N(x) d\circ}
[/mm]
Wobei [mm] \lambda:=[{ x = (x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 : {x_1}^2 + {x_2}^2+{4x_3}^2 < 1}]
[/mm]
[mm] F:\IR^3\to\IR^3, F(x_1,x_2,x_3) [/mm] := [mm] ({x_1}^3{x_3}^2,{x_1}cos({x_3}),{x_1}^2{x_3}^3)
[/mm]
und N : [mm] \partial\lambda \to\IR^3 [/mm] das äußere Normalenfeld ist. |
ich kann ja den weg auch so beschreiben
(x , y , z) = ( [mm] x_1, x_2, x_3) [/mm] (da es einfacher ist zum schrieben^^)
[mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, [mm] -\wurzel{1-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{1-x^2} ,-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2} \le [/mm] z [mm] \le \bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}
[/mm]
div(f(x,y,z)) = [mm] 6x^2z^2
[/mm]
[mm] \integral_{\partial\lambda}^{}{F(x)N(x) d\circ} [/mm] = [mm] \integral_{\lambda}^{}{divf(x,y,z) d(x,y,z)} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}}^{\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}} [/mm] { [mm] 6x^2z^2 [/mm] dz dy dx}
ich komm ihrgend wie auf kein brauchbares ergebnisse
deswegen wollte ich fragen ob das so richtig ist
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> Berechnen Sie das Flächenintegral
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> [mm]\integral_{\partial\lambda}^{}{F(x)N(x) d\circ}[/mm]
>
> Wobei [mm]\lambda:=[{ x = (x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 : {x_1}^2 + {x_2}^2+{4x_3}^2 < 1}][/mm]
>
> [mm]F:\IR^3\to\IR^3, F(x_1,x_2,x_3)[/mm] :=
> [mm]({x_1}^3{x_3}^2,{x_1}cos({x_3}),{x_1}^2{x_3}^3)[/mm]
>
> und N : [mm]\partial\lambda \to\IR^3[/mm] das äußere Normalenfeld
> ist.
>
> ich kann ja den weg auch so beschreiben
>
> (x , y , z) = ( [mm]x_1, x_2, x_3)[/mm] (da es einfacher ist zum
> schreiben^^)
>
> $\ [mm] -1\le\ [/mm] x\ [mm] \le\ 1\quad;\quad -\wurzel{1-x^2} \le\ [/mm] y\ [mm] \le \wurzel{1-x^2}$ [/mm]
> $\ [mm] -\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2} \le\ [/mm] z\ [mm] \le \bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}$
[/mm]
>
> div(f(x,y,z)) = [mm]6x^2z^2[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{\partial\lambda}^{}{F(x)N(x) d\circ}[/mm] =
> [mm]\integral_{\lambda}^{}{div\ F(x,y,z) d(x,y,z)}[/mm]
>
>
> [mm] $\integral_{-1}^{1}\ \integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\ \integral_{-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}}^{\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}} 6x^2z^2\ [/mm] dz\ dy\ dx$
>
> ich komm irgendwie auf kein brauchbares ergebnis
>
> deswegen wollte ich fragen ob das so richtig ist
Hallo,
meiner Meinung nach sollte das soweit richtig sein.
Wo genau hast du denn ein Problem ?
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Fr 04.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du über ein Rotations Ellipsoid integrierst bieten sich Zylinderkoordinaten an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
hab es so mit Kugel Kordinaten gemacht stimmt das so ?
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}{6 r^5 cos^2(p) sin^3(o) cos^2(o) do dp dr} [/mm] = [mm] \bruch{4\pi}{15}
[/mm]
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> hab es so mit Kugel Kordinaten gemacht stimmt das so ?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}{6 r^5 cos^2(p) sin^3(o) cos^2(o) do dp dr}\ =\ \bruch{4\,\pi}{15}[/mm]
Hallo,
nach meiner Rechnung sollte [mm]\bruch{8\,\pi}{35}[/mm] herauskommen.
LG
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Hallo DerKoso,
> hab es so mit Kugel Kordinaten gemacht stimmt das so ?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}{6 r^5 cos^2(p) sin^3(o) cos^2(o) do dp dr}[/mm]
> = [mm]\bruch{4\pi}{15}[/mm]
Nach der Integration von
[mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}}^{\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}} $ {6x^2z^2 dz dy dx} [/mm]
komme ich auf einen Wert von [mm]\bruch{\pi}{35}[/mm].
Welches sich auch mit der Parametertransformation
[mm]x=r*\sin\left(\theta\right)*\cos\left(\phi\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\theta\right)*\sin\left(\phi\right)[/mm]
[mm]z=\bruch{1}{2}*r*\cos\left(\theta\right)[/mm]
bestätigen läßt, wobei
[mm]0 \le r \le 1, \ 0 \le \theta \le \pi, \ 0 \le \phi \le 2*\pi[/mm]
Gruss
MathePower
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> Nach der Integration von
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}}^{\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}} $ {6x^2z^2 dz dy dx}[/mm]
>
> komme ich auf einen Wert von [mm] \frac{\pi}{35} [/mm] .
Hallo MathePower,
hast du wirklich über das ganze Ellipsoid integriert und
nicht nur über den Ausschnitt davon im Bereich mit
[mm] x\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] und [mm] z\ge0 [/mm] ?
(ich glaube mit meinem Ergebnis [mm] \frac{8*\pi}{35} [/mm] Mr. Wolfram
auf meiner Seite zu haben ...)
 Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Fr 04.11.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Nach der Integration von
> >
> >
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{-\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}}^{\bruch{1}{2} \wurzel{1-x^2-y^2}} $ {6x^2z^2 dz dy dx}[/mm]
>
> >
> > komme ich auf einen Wert von [mm]\frac{\pi}{35}[/mm] .
>
>
> Hallo MathePower,
>
> hast du wirklich über das ganze Ellipsoid integriert und
> nicht nur über den Ausschnitt davon im Bereich mit
> [mm]x\ge0[/mm] , [mm]y\ge0[/mm] und [mm]z\ge0[/mm] ?
>
Nein, ich habe schon über das ganze Ellipsoid integriert.
Der Punkt ist der, dass nach der Parametertransformation
der Integrand genau um den Faktor 8 nicht stimmt.
> (ich glaube mit meinem Ergebnis [mm]\frac{8*\pi}{35}[/mm] Mr.
> Wolfram
> auf meiner Seite zu haben ...)
>
>
> Al
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
ich habe meinen (blöden) Fehler entdeckt: bei den Inte-
grationsgrenzen des innersten Integrals hatte ich den
Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] vergessen ...
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Welches sich auch mit der Parametertransformation
> [mm]z=\bruch{1}{2}*r*\cos\left(\theta\right)[/mm]
hey habe eine frage wie kommst du darauf?
ich dachte z wäre nur z= [mm] r*\cos\left(\theta\right) [/mm] in Kugelkordinaten?
habs jetzt so versucht mit deiner Parametersierung
die Determinate ist ja ? [mm] \bruch{1}{2}*r^2*\sin\left(\theta\right)
[/mm]
die [mm] div(f(r,\phi,\theta)) [/mm] = 6 [mm] r^2 sin^2(\theta) cos^2(\phi) \bruch{1}{2} r^2 cos^2(\theta)
[/mm]
und beides zusamen ist ja = (6 [mm] r^2 sin^2(\theta) cos^2(\phi) \bruch{1}{2} r^2 cos^2(\theta))*(\bruch{1}{2}*r^2*\sin\left(\theta\right)) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}r^6 cos^2(\phi) sin^3(\theta) cos^2(\theta)
[/mm]
und das nun Integriert
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{2\pi}(\integral_{0}^{\pi}{\bruch{3}{2}r^6 cos^2(\phi) sin^3(\theta) cos^2(\theta) d\theta})d\phi)dr
[/mm]
ist doch alles soweit richtig oder ?
der punkt ist das bei mir [mm] \bruch{2\pi}{35} [/mm] raus kommt und nicht [mm] \bruch{\pi}{35} [/mm]
was mach ich denn falsch ?
Edit: haha man bin ich blöd^^ hab bei [mm] div(f(r,\phi,\theta)) [/mm] alles hoch 2 genommen auser den Bruch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] komme jetzt auch auf [mm] \bruch{\pi}{35}
[/mm]
danke an euch allen^^
aber meine frage bleibt wieso hast du z so gewählt? (weiß es jetz ^^ habs sogar in mein ersten post selber geschrieben xD liegt an den [mm] 4z^2 [/mm] ^^ man heute ist nicht mein tag^^)
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Hallo DerKoso,
> > Welches sich auch mit der Parametertransformation
> > [mm]z=\bruch{1}{2}*r*\cos\left(\theta\right)[/mm]
>
> hey habe eine frage wie kommst du darauf?
> ich dachte z wäre nur z= [mm]r*\cos\left(\theta\right)[/mm] in
> Kugelkordinaten?
>
Das ist nur richtig, wenn [mm]\lambda:=[{ x = (x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 : {x_1}^2 + {x_2}^2+ \blue{1}*x_3^2 < 1}][/mm]
In der Aufgabe ist aber
[mm]\lambda:=[{ x = (x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 : {x_1}^2 + {x_2}^2+\blue{4}{x_3}^2 < 1}] [/mm]
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist z.B. zu setzen:
[mm]x_{1}=r*\sin\left(\theta\right)*\cos\left(\phi\right)[/mm]
[mm]x_{2}=r*\sin\left(\theta\right)*\sin\left(\phi\right)[/mm]
[mm]2*x_{3}=r*\cos\left(\theta\right)[/mm]
>
> habs jetzt so versucht mit deiner Parametersierung
>
> die Determinate ist ja ?
> [mm]\bruch{1}{2}*r^2*\sin\left(\theta\right)[/mm]
>
> die [mm]div(f(r,\phi,\theta))[/mm] = 6 [mm]r^2 sin^2(\theta) cos^2(\phi) \bruch{1}{2} r^2 cos^2(\theta)[/mm]
>
> und beides zusamen ist ja = (6 [mm]r^2 sin^2(\theta) cos^2(\phi) \bruch{1}{2} r^2 cos^2(\theta))*(\bruch{1}{2}*r^2*\sin\left(\theta\right))[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{2}r^6 cos^2(\phi) sin^3(\theta) cos^2(\theta)[/mm]
>
>
> und das nun Integriert
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{2\pi}(\integral_{0}^{\pi}{\bruch{3}{2}r^6 cos^2(\phi) sin^3(\theta) cos^2(\theta) d\theta})d\phi)dr[/mm]
>
> ist doch alles soweit richtig oder ?
>
> der punkt ist das bei mir [mm]\bruch{2\pi}{35}[/mm] raus kommt und
> nicht [mm]\bruch{\pi}{35}[/mm]
>
> was mach ich denn falsch ?
>
>
> Edit: haha man bin ich blöd^^ hab bei
> [mm]div(f(r,\phi,\theta))[/mm] alles hoch 2 genommen auser den Bruch
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] komme jetzt auch auf [mm]\bruch{\pi}{35}[/mm]
>
> danke an euch allen^^
>
>
> aber meine frage bleibt wieso hast du z so gewählt?
> (weiß es jetz ^^ habs sogar in mein ersten post selber
> geschrieben xD liegt an den [mm]4z^2[/mm] ^^ man heute ist nicht
> mein tag^^)
>
Gruss
MathePower
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