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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 So 11.01.2009 | | Autor: | inf2 |
| Aufgabe 1 | Die Funktion f ist gegeben durch {f(x)}= [mm] \bruch{-x³+5x²-4}{2x²}
[/mm]
Ihr Schaubild sei K.
Die Kurve K und die drei Geraden g(x) = y = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{5}{2} [/mm] , x = 1 sowie x = t mit t > 1 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(t).
Berechnen Sie A(t). |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] A(t). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zunächst eine Skizze gemacht. g(x) ist Asymptote für f(x) und liegt oberhalb von f(x).
Die für diese Aufgabe entscheidende Nullstelle von f(x) liegt bei [mm] {2+\wurzel{8}}.
[/mm]
Die Integrationsgrenzen sind somit zunächst von 1 bis [mm] {2+\wurzel{8}} [/mm] im positiven Bereich der Fläche im 1. Quadranten, dann [mm] {2+\wurzel{8}} [/mm] bis t für den negativen Bereich der Fläche im 1. Quadranten
Somit muss eine Integration der Form
[mm] \integral_{1}^{2+\wurzel{8}}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2+\wurzel{8}}{f(x) dx} [/mm] + | [mm] \integral_{2+\wurzel{8}}^{t}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{2+\wurzel{8}}^{t}{f(x) dx} [/mm] |
Da es sich um eine Aufgabe aus dem Grundkurs Mathe 13 handelt, bin ich nicht sicher, ob ich es mir bis hierher nicht zu kompliziert gemacht hab, sprich:
Ist dies der richtige Lösungsweg?
Und wenn ja, wie kann ich das Ganze jetzt integrieren? Ich habe große Probleme mit dem Integrieren und anschließendem Vereinfachen, da es sich einmal um eine Fläche oberhalb und einmal um eine Fläche unterhalb der x-Achse handelt.
Bitte dringend um Hilfe!!! Danke!
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> Die Funktion f ist gegeben durch {f(x)}=
> [mm]\bruch{-x³+5x²-4}{2x²}[/mm]
>
> Ihr Schaubild sei K.
> Die Kurve K und die drei Geraden g(x) = y = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> x + [mm]\bruch{5}{2}[/mm] , x = 1 sowie x = t mit t > 1 begrenzen
> eine Fläche mit dem Inhalt A(t).
> Berechnen Sie A(t).
> Berechnen Sie [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm] A(t).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe zunächst eine Skizze gemacht. g(x) ist Asymptote
> für f(x) und liegt oberhalb von f(x). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die für diese Aufgabe entscheidende Nullstelle von f(x)
> liegt bei [mm]{2+\wurzel{8}}.[/mm]
die Nullstellen von f spielen für die Aufgabe
keine Rolle !
> Die Integrationsgrenzen sind somit zunächst von 1 bis
> [mm]{2+\wurzel{8}}[/mm] im positiven Bereich der Fläche im 1.
> Quadranten, dann [mm]{2+\wurzel{8}}[/mm] bis t für den negativen
> Bereich der Fläche im 1. Quadranten
>
> Somit muss eine Integration der Form
>
> [mm]\integral_{1}^{2+\wurzel{8}}{g(x) dx}- \integral_{1}^{2+\wurzel{8}}{f(x) dx}+\left|\ \integral_{2+\wurzel{8}}^{t}{g(x) dx} - \integral_{2+\wurzel{8}}^{t}{f(x) dx}\ \right|[/mm]
eine solche Aufteilung ist überflüssig !
> Da es sich um eine Aufgabe aus dem Grundkurs Mathe 13
> handelt, bin ich nicht sicher, ob ich es mir bis hierher
> nicht zu kompliziert gemacht hab, sprich:
> Ist dies der richtige Lösungsweg?
Für die gesuchte Fläche gilt hier:
[mm] A(t)=\integral_{1}^{t}(g(x)-f(x))\ [/mm] dx
Die Berechnung wird dann, wenn man vor dem
Integrieren vereinfacht, recht einfach.
Klar machen kannst du dir dies am besten so:
Schieben wir die beiden Kurven K und g so weit
(um eine Strecke der Größe v) nach oben, dass
das gesamte zu berechnende Flächenstück
oberhalb der x-Achse zu liegen kommt.
Wir ersetzen also f(x) durch f(x)+v und g(x)
durch g(x)+v. Das Flächenstück zwischen den
Kurven bleibt dabei gleich groß, und es ist
[mm] A(t)=\integral_{1}^{t}(g(x)+v)\ dx-\integral_{1}^{t}(f(x)+v)\ dx=\integral_{1}^{t}((g(x)+v)-(f(x)+v))\ dx=\integral_{1}^{t}(g(x)-f(x))\ [/mm] dx
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 11.01.2009 | | Autor: | inf2 |
Vielen vielen Dank!!! Das hilft mir sehr weiter!
Ich habe die Aufgabe entsprechend den Hinweisen weiter gelöst und bitte nun lediglich um Bestätigung bzw. Korrektur meiner Ergebnisse.
Für den Flächeninhalt A(t) ergibt sich nach Vereinfachung und Integrieren folgende Rechnung:
A(t) = [ [mm] \bruch{-2}{x²} [/mm] ] in den Grenzen 1 bis t.
Allgemein gilt somit
A(t) = [mm] \bruch{-2}{t} [/mm] + 2 Flächeneinheiten.
Bei der Grenzwertbetrachtung gilt somit weiterhin
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] A(t) = [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{-2}{t} [/mm] + 2 = 2 Flächeneinheiten.
Für ein gesuchtes t für das gilt A(t) = 1 ergibt sich aus
1 = [mm] \bruch{-2}{t} [/mm] + 2
für t = 2.
Sind die von mir genannten Ergebnisse richtig?
Vielen Dank nochmals im Voraus!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ja.
