Flächeninhalt einer Parabel von einer Geraden begrenzt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Di 31.08.2004 | | Autor: | sgtpayne |
Hallo erstmal bin auf dieses tolle forum gestossen doch leider nicht auf meine frage also folgendes:
g(x)=-x+4,5
f(x)=(2*x+1)^(1/2) (keine ahnung wie man wurzeln macht sollte aber stimmen)
So ich soll nun die fläche welche von parabel und gerade eingeschlossen wird berechnen, der lehrer sagte nur mit integration wirds schwer womit er auch irgendwie recht hat find ich...
Eigendlich komme ich sonst gut zurecht aber hier hab ich null ahnung...
Kann (muss) man die parabel drehen?
Es müsste doch auch möglich sein nach y zu integrieren anstatt zu x oder?
hmm naja hoffe hier kann mir jemand helfen wäre echt nett.
Danke erstmal
achso: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Das mit der wurzel hab ich nun auch gesehn ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 31.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo sgtpayne,
mal sehen, ob wir das irgendwie gelöst bekommen...
Deine Idee, die Funktion zu "drehen", ist garnicht so übel, im Endeffekt bildest Du die Umkehrfunktionen der gegebenen Funktionen, weisst Du, wie man das macht?
Hier die Lösungen:
[mm] $g^{-1}(x) [/mm] = -x+4,5$
[mm] $f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Jetzt hast Du eine quadratische Funktion an der Hand, die viel freundlicher zu integrieren ist.
Wenn Du jetzt noch aus der Symmetrie schließt, welchen Flächeninhalt Du bestimmen musst, kannst Du gleich loslegen.
(Tipp: Funktion und Umkehrfunktion werden durch Spiegelung an der Geraden $f(x) = x$ aufeinander abgebildet!)
Integrieren wird man aber doch noch müssen, würde ich sagen...
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Mi 01.09.2004 | | Autor: | sgtpayne |
eins für verständnis bitte wenn die funktion der grade jedoch nicht verändert wird so wie du oben geschrieben hasst sieht die fläche mir nicht mehr gleich aus wenn ich deine neue parabel zeichne...
ich hätte es so versucht *ACHTUNG evtl. nicht richtig*
erste grenze bei - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf der x - achse
zweite grenze beim oberen schnittpunkt zwischen gerade und parabel also
Parabel nach y umgestellt ergibt x= [mm] \bruch{1}{2} y^2- \bruch{1}{2} [/mm] der schnittpunkt ist dann bei y=2,31662 und x=2,18338 fehlt nur noch die fläche für das dreieck der gerade mit der x-achse welche dazu addiert werden muss also a wäre der y wert des schnittpunktes und b 4,5 - den x-wert des schnittpuntes ( 2,18338) = 2,31662
A dreieck = a*b/2 = 2,68336 (a und b müssen ja auch gleich sein da der winkel der geraden 45° ist)
also:
Ages= [mm] \integral_{-1/2}^{2,18388} [/mm] {f(x) [mm] \wurzel{2*x+1} [/mm] dx} + Adreieck
Ages= 4,14426+2,68336 = 6,82762 FE
ist das so richtig???
achso: die fläche soll oberhalb der x-achse und für die begrenzung nach rechts die gerade genommen werden!
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ok habe alles begriffen es geht beides so wie du es beschrieben hasst ist es sogar einfacher da die wurzel weg ist (hab ich eh nur mit nem TI 92 plus rausbekommen^^)
Lösung:
Schnittpunkt(2,31662/2,18338)
daraus folgt die fläche unter der geraden Agerade=4,5*2,31662-(4,5-2,18338)*2,31662 / 2 = 7,74143
die kleine fläche unter der x-achse:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x)= [mm] 1/2*x^2-1/2 [/mm] dx} = -1/3 (der wert muss jedoch dazu addiert werden!!!)
die fläche vom Schnittpunkt in richtung y-achse muss abgezogen werden:
[mm] \integral_{1}^{2,31662} [/mm] {f(x)= [mm] 1/2*x^2-1/2 [/mm] dx} = 1,24713
also: 7,74143 + 1/3 - 1,24713 = 6,82763 FE
So vielen dank dafür war zwar nee lange nacht aber naja hausaufgaben sind halt wichtig ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mi 01.09.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Sehr schön!
Die Begründung für die Schritte ist richtig, die Rechnung sollte auch stimmen (darauf übernehme ich jetzt keine Garantie ^^), was ist das für ein Gefühl, wenn man selbst was richtiges rausbekommt? ^^
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mi 01.09.2004 | | Autor: | sgtpayne |
Jo ist mal wieder ein erfolgserlebnis vielen dank nochmal für den denkanstoss. Ich werde hier wohl mal öfters reinschauen ;)
Gruss Björn
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