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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 30.05.2008 | | Autor: | bliblub |
-------- Bestimme k so , dass die Funktion mit f(x)= 24x + k / [mm] x^3 [/mm] an der Stelle 2 ein Extremum hat. Untersuche die Funktion für dieses k und zeichne ihren Graphen. ------------
Das was hier steht ist lediglich eine Kopie der Aufgabe eines anderen threads aber um die obrige Funktion geht es hier. Wichtig ist mir die Vorgehensweise wie schon im andern thread erwähnt:
Aufgabenstellung hier:
b) Berechne den Flächeninhalt der vom Graphen von f und der 1. Achse und der Geraden x=3 eingeschlossenen Fläche.
Habe lediglich ja diese Kurvenschar Funktion gegeben f(x)= 24x + k / [mm] x^3 [/mm]
daher kann ich mir ja für viele verschiedene k die Funktion zeichnen lassen und es gibt ja ziemlich viele Kurven? Von daher kann ich doch keine genaue Angabe machen also muss ich doch erst für k etwas beliebiges wählen? Angenommen 5 oder so ?
24x + 5 / [mm] x^3
[/mm]
Die erste Achse ist ja die X Achse von daher betrachte ich den Graph quasi ab der X Achse nach oben bis 3 und gucke welche Fläche der Graph einschliesst aber da ich weigesagt ne Kurvenschar habe muss ich erstmal ne Zahl festlegen mit der ich den Graph bei mir einzeichne ? Und es können ja viele Ergebnisse rauskommen? Weil ich ja alle möglichen Zahlen für k einsetzen kann oder nicht? Außerdem wäre dann jede Fläche auch individuell groß.
Falls meine Vermutung falsch ist denkc ih m,uss ich für ein "allgemeines k" rechnen? Aber wie tue ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 30.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Funktion [mm] f_{k}(x)=24x+\bruch{k}{x³}=24x+kx^{-3} [/mm] hat ja nun einige Nullstellen.
Berechne doch erstmal diese.
Also:
[mm] 24x+\bruch{k}{x³}=0
[/mm]
[mm] \gdw 24x=-kx^{-3}
[/mm]
[mm] \gdw 24x^{4}=k
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}=\bruch{k}{24}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\wurzel[4]{\bruch{k}{24}}
[/mm]
Diese Nullstelle ist deine untere Grenze des Integrales: Die Obergrenze ist durch x=3 festgelegt.
Also: [mm] A=\integral_{\wurzel[4]{\bruch{k}{24}}}^{3}(24x+\bruch{k}{x³})dx=...
[/mm]
Ach ja: Hier noch eine Skizze dazu (k=-2) Überlege vielleicht auch mal, was passiert, wenn [mm] k\le0 [/mm] oder [mm] \wurzel[4]{\bruch{k}{24}}>3.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Fr 30.05.2008 | | Autor: | bliblub |
du hast leider die Funktion durch nen kleinen Tippfehler falsch übernommen und deswegen ist die Mühe dass du den Graph gezeichnet hast leider auch futsch :-(
die 24 x stehen nicht alleine da....
das ergebnis lautet hier:
( 24x + 32 ) / [mm] x^3
[/mm]
EDDIT : gerade eben reingekommen vorzeichenfehler also nochmal anders
(24x - 32 ) / [mm] x^3 [/mm] !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 30.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das Prinzip bleibt dann aber gleich.
Du musst auch hier die Nullstelle bestimmen (es gibt nur eine), und dann das Integral bestimmen.
Also:
[mm] f(x)=\bruch{24x-k}{x³}=\bruch{24}{x²}-\bruch{k}{x³}=24x^{-2}-kx^{-3}
[/mm]
[mm] \bruch{24x-k}{x³}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{0}=? [/mm] (Von k abhängig)
Jetzt betrachte mal zwei Fälle: [mm] (x_{0}<3 [/mm] und [mm] x_{0}>3)
[/mm]
Dann berechne mal das Integral: [mm] (x_{0}<3)
[/mm]
[mm] \integral_{x_{0}}^{3}\bruch{24x-k}{x³}dx=
[/mm]
Tipp: Es hilft ungemein, die Funktion wie oben umzuformen, bevor du F(x) bestimmst.
[mm] Also:\integral_{x_{0}}^{3}\bruch{24x-k}{x³}dx=\integral_{x_{0}}^{3}(24x^{-2}-kx^{-3})dx=\left[F(x)\right]_{x_{0}}^{3}=...
[/mm]
Für [mm] x_{0}>3 [/mm] gilt:
[mm] \integral_{3}^{x_{0}}\bruch{24x-k}{x³}dx=-\integral_{x_{0}}^{3}\bruch{24x-k}{x³}dx=...
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 30.05.2008 | | Autor: | bliblub |
Wir dürfen diesbezüglich morgen den Taschenrechner dafür nutzen und die Stammfunktion rechnet dieser automatisch aus von daher fällt das Bilden von Stammfunktionen erstmal total flach.
Ich haba aber verstanden warum du 0 und 3 gewählt hast. Die Funktion wird ja schließlich von der ersten Achse und 3 eingeschlossen ioch habe bisher immer falsch gedacht und habe vermutet es werden Punkte von "links nach rechts" gehend festgelegt aber jetzt bin ich eines besseren belehrt und nehme die Punkte von unten nach oben ( 0 x-Achse und 3 waagerecht zur x Achse auf dem Punkt 3 der Y Achse und schon wird ja die Funktion meines Wissens nach eindeutig durch Schneidung der Funktion eingeteilt in die Fläche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Fr 30.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau mal genauer hin. Die Untergrenze ist [mm] \red{x_{0}}, [/mm] also die zu bestimmende Nullstelle von f(x), nicht 0.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 30.05.2008 | | Autor: | bliblub |
Nullstelle -> Zähler nullsetzen
24x + k = 0 k rüberbringen
24x = -k : 24
x = -k /24 ?
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Hallo bliblub,
> Nullstelle -> Zähler nullsetzen
>
> 24x + k = 0 k rüberbringen
Das muss hier [mm]24x+\bruch{k}{\red{x^{3}}}=0[/mm] heißen.
>
> 24x = -k : 24
>
> x = -k /24 ?
Dann ergeben sich auch andere Nullstellen.
Gruß
MathePower
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Hallo bliblub,
das k in deiner Funktion
[mm] $f(x)=\bruch{24x+k}{x^3}$
[/mm]
hast Du ja schon bestimmt, da ja die erste Ableitung an der Stelle x=2 Null ergeben sollte. Also k=-32.
Demnach liegt die Nullstelle bei
[mm] $x_{0} [/mm] = [mm] -\bruch{k}{24}=\bruch{32}{24}=\bruch{4}{3}$
[/mm]
LG, Martinius
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