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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:21 So 15.07.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Flächeninhalt folgender Mengen:
(a) [mm]M = \{{(r*cos(\phi), r*sin(\phi))}^t \in \IR^2; 0 \le \phi \le 2{\pi}, 0 \le r \le 1 + cos(\phi)\}[/mm]
(b) [mm]M = \left\{\pmat{ R+u*sin(\gamma)*cos(\phi) \\ R+u*sin(\gamma)*sin(\phi) \\ u*cos(\gamma)} \in \IR^3; -{\pi} \le {\gamma}, \phi \le {\pi}, 0 \le u \le r\right\}[/mm]
Es seien [mm]r,R > 0[/mm] fest |
Hi,
komme hier irgendwie nicht so recht weiter, ich beschreibe einfach mal wie ich vorgegangen bin:
zu (a)
Der Flächeninhalt würde sich ja wie folgt berechnen:
[mm]\integral_{M}{\integral{r dr} d{\phi}}[/mm]
Also würde das ja dann wie folgt aussehen:
[mm]\integral_{0}^{2{\pi}}{\integral_{0}^{1+cos({\phi})}{r dr} d{\phi}}[/mm]
Wenn mann dann das erste Integral berechnet sieht das ja so aus
[mm]\integral_{0}^{2{\pi}}{\bruch{1+2*cos({\phi})+cos^2({\phi})}{2} d{\phi}}[/mm]
Und nun komme ich nicht mehr so recht weiter.. Wie integriert man denn richtig [mm]cos^2({\phi})[/mm]? Bin mir da irgendwie ein wenig unschlüssig. Oder stimmt das überhaupt mal soweit wie ich das bisher gemacht habe?
Nach Fubini kann man ja bei Mehfachintegrale einfach die einzelnen Integrale tauschen, je nachdem was eben leichter aufzuleiten ist zuerst. Könnte man das hier auch machen, denn zuerst nach [mm]\phi[/mm] zu integrieren wäre ja hier einfacher wegen den schöneren Grenzen.
zu (b)
Hier weiss ich nicht so recht wie ich anfangen soll. Das dürfte ja von der Formel her genauso aussehen wie das andere, nur das eben noch ein drittes Integral wo noch [mm]\gamma[/mm] integriert wird hinzukommt, oder? Aber das grössere Problem ist gerade wie ich mit dem [mm]r,R > 0[/mm] und fest genau verfahren soll. Einfach die Variable stehe lassen ohne Werte? Und was wären denn bei [mm]{\gamma},{\phi}[/mm] die obere bzw. die untere Grenze?
Gruß
myo
Ich habe diese Frage auf keinen anderen Foren und Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
bis hierhin:
> [mm]\integral_{0}^{2{\pi}}{\bruch{1+2*cos({\phi})+cos^2({\phi})}{2} d{\phi}}[/mm]
sieht mir das richtig aus.
> Und nun komme ich nicht mehr so recht weiter.. Wie integriert man denn richtig [mm]cos^2({\phi})[/mm]? Bin mir da irgendwie ein wenig unschlüssig.
Das Integral über [mm]\cos^2\phi[/mm] bestimmst du am besten mittels partieller Integration und Benutzung der Identität [mm]\sin^2\phi = 1-\cos^2\phi[/mm].
> Nach Fubini kann man ja bei Mehfachintegrale einfach die einzelnen Integrale tauschen, je nachdem was eben leichter aufzuleiten ist zuerst. Könnte man das hier auch machen, denn zuerst nach [mm]\phi[/mm] zu integrieren wäre ja hier einfacher wegen den schöneren Grenzen.
Warum wäre es einfacher? Wenn du zuerst über [mm]\phi[/mm] integrierst, hängen deine Grenzen für das innere Integral von [mm]r[/mm] ab, wegen [mm]0\leq r \leq 1+\cos\phi[/mm]. Mal dir mal die Menge [mm]M[/mm] auf!
> zu (b)
> Hier weiss ich nicht so recht wie ich anfangen soll. Das dürfte ja von der Formel her genauso aussehen wie das andere, nur das eben noch ein drittes Integral wo noch [mm]\gamma[/mm] integriert wird hinzukommt, oder?
Steht da wirklich [mm]u\leq u\leq r[/mm], oder [mm]0\leq u\leq r[/mm]?
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 15.07.2007 | | Autor: | myo |
Kleiner Tippfehler meinerseits..
Da sollte schon [mm]0 \le u\le r[/mm] stehen, würde ja auch sonst nicht unbedingt Sinn ergeben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> (b) [mm]M = \{\pmat{ R+u*sin(\gamma)*cos(\phi) \\ R+u*sin(\gamma)*sin(\phi) \\ u*cos(\gamma)} \in \IR^3; -{\pi} \le {\gamma}, \phi \le {\pi}, 0 \le u \le r\}[/mm]
Die Menge ist aber keine Fläche, sondern eine Kugel vom Radius r um den Punkt (R,R,0). Da bin ich mir nicht sicher, was mit dem Flächeninhalt gemeint ist. Wenn das Volumen gemeint ist, dann musst du ein Dreifachintegral
[mm]\integral_M dx\,dy\,dz[/mm]
ausrechnen.
Tipp: ich würde als erstes das Koordinatensystem um (-R,-R,0) verschieben, sodass der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung liegt. Durch die Verschiebung ändern sich weder Volumen noch Oberfläche. Dann das Integral in Kugelkoordinaten lösen.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Mo 16.07.2007 | | Autor: | myo |
Stimmt, es ist das Volumen gemeint. Hab mich beim abtippen der Aufgabenstellung ein wenig vertippt/kurzfristig auf die falsche Aufgabenstellung geschaut.
Das mit dem Dreifachintegral ist mir auch noch klar. Aber mir ist nicht ganz klar, was nun genau die Grenzen von [mm]{\gamma},{\phi}[/mm] sind, weil ich hab ja eigentlich nur jeweils eine Grenze gegeben durch eine jeweils eine Bedingung der Menge.
Wie meinst du das genau mit dem Verschieben, oder wie würde das ganze dann genau aussehen?
Gruß
myo
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> Stimmt, es ist das Volumen gemeint. Hab mich beim abtippen
> der Aufgabenstellung ein wenig vertippt/kurzfristig auf die
> falsche Aufgabenstellung geschaut.
>
> Das mit dem Dreifachintegral ist mir auch noch klar. Aber
> mir ist nicht ganz klar, was nun genau die Grenzen von
> [mm]{\gamma},{\phi}[/mm] sind, weil ich hab ja eigentlich nur
> jeweils eine Grenze gegeben durch eine jeweils eine
> Bedingung der Menge.
>
> Wie meinst du das genau mit dem Verschieben, oder wie würde
> das ganze dann genau aussehen?
Ich bin zwar nicht rainerS, erlaube mir aber dennoch meinen Senf dazuzugeben: Wenn man den Körper um [mm] $\vektor{-R,-R,0}$ [/mm] verschiebt, so kommt sein Zentrum in den Koordinatenursprung zu liegen. Dies bedeutet jedoch leider nicht, dass [mm] $\gamma, \phi$ [/mm] damit schon zu den Winkeln von Kugelkoordinaten würden. Ich fürchte, Du musst also zuerst den Körper mit Kugel- oder, wohl besser geeignet, Zylinderkoordinaten beschreiben, bevor Du die diesen neuen Koordinaten entsprechenden Volumenelemente zum Gesamtvolumen aufintegrieren kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 16.07.2007 | | Autor: | myo |
Achja, was ich noch vergessen habe anzufügen.
Es handelt sich hierbei um einen Torus oder besser gesagt das Volumen eines Torus soll berechnet werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Mo 16.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> Achja, was ich noch vergessen habe anzufügen.
> Es handelt sich hierbei um einen Torus oder besser gesagt
> das Volumen eines Torus soll berechnet werden
Bei einem Torus ist das Verschieben keine Hilfe.
Aber dann stimmt deine Definition nicht, ein Torus hat
[mm]M = \left\{\pmat{( R+u*\sin(\gamma))*\cos(\phi) \\ (R+u*\sin(\gamma))*\sin(\phi) \\ u*\cos(\gamma)} \in \IR^3; -{\pi} \le {\gamma}, \phi \le {\pi}, 0 \le u \le r\right\}[/mm]
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Mo 16.07.2007 | | Autor: | myo |
Ach .... Es war gestern wohl doch schon eindeutig zu spät um noch was abtippen zu können meinerseits.. Genau so sollte die Definition aussehen wie du sie nun angeschrieben hat und nicht wie ich sie angeschrieben habe.
Entschuldigung das ich dadurch nun nur Verwirrung gestiftet habe.
Wir würde denn das ganze nun genau funktionieren mit dem Volumen, nachdem nun mal alle Tippfehler beseitigt sind?
Gruß
myo
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Hallo
versuch es mal mit Zylinderkoordinaten. Dein Thema "Flächeninhalt Polarkoordinaten" legt das ja auch nahe.Ich versuch es auch eben mal.Melde mich wieder
Gruß korbinian
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hallo
es klappt mit Zylinderkoordinaten.
Der link von rainerS zeigt schöne Bilder des Torus. Sie waren mir sehr hilfreich; jedoch die Toruskoordinaten, die dort gezeigt werden nicht. Sie scheinen mir lokale "Flächenkoordinaten" der Torusoberfläche zu sein (ich seh nur 2 Variable). Also versuch ichs doch mit Zylinderkoordinaten:
[mm] V=\integral_{Torus}{ \rho d\rho d\phi dx}
[/mm]
Der Torus entsteht durch Rotation eiens Kreises mit Radius r, dessen Mittelpunkt in der xy-Ebene im Abstand R um die z-Achse rotiert. Der Kreis steht senkrecht auf der xy-Eben (s. Link von rainerS).
[mm] \phi [/mm] bewegt sich also zwischen 0 und [mm] 2\pi
[/mm]
z zwischen -r und r
[mm] \rho [/mm] hängt von z ab, es bewegt sich zwischen [mm] R-\wurzel{r^{2}-z^{2}} [/mm] und [mm] R+\wurzel{r^{2}-z^{2}}
[/mm]
Damit wird [mm] V=2\pi^{2}Rr^{2}
[/mm]
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 16.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Der link von rainerS zeigt schöne Bilder des Torus. Sie
> waren mir sehr hilfreich; jedoch die Toruskoordinaten, die
> dort gezeigt werden nicht. Sie scheinen mir lokale
> "Flächenkoordinaten" der Torusoberfläche zu sein (ich seh
> nur 2 Variable).
Die Koordinaten sind r,t,p. Im Bild ist r nicht so gut gezeichnet, es scheint der Radius der Oberfläche zu sein. Gemeint ist bei Toruskoordinaten aber r als Variable.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 16.07.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo Rainer.
danke für den Hinweis. Genau an r bin ich gescheitert.
Dann ist in deinem Link ja die Koordinatentransformation gegeben, so dass die Jakobi-Determinate, so man sie nicht auswendig kann, auch kein Problem sein dürfte,...........
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Di 17.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Toruskoordinaten
