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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
ich hab wiedermal eine Frage und die Aufgabe wirkt nicht sehr schwierig ( denke ich mal)
Gegeben ist das Gebiet D,welches in Polarkoor. zwischen den Graphen [mm] r=\phi [/mm] und r=2 [mm] \phi [/mm] für 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 3 [mm] \pi [/mm] liegt. Nun soll ich den Flächeninhalt von D berechnen,indem ich das Integral [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{1 dxdy} [/mm] auf Polarkoordinaten transformiere.
Wenn ich mir das Gebiet skizziere entsteht ja ein Kreisring zwischen 6 [mm] \pi [/mm] und 3 [mm] \pi [/mm] aber was ist gemeint mit Polarkoordinatentransformation gemeint?
Das Gebiet ist ja schon in Polarkoor.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo racy
Dein Gebiet ist kein Kreisring! [mm] r=\phi [/mm] ist eine Spirale, ebenso wie [mm] r=2\phi. [/mm]
zeichne dir winkel etwa alle [mm] \pi/6 [/mm] und dann jeweils die Punkte im entsprechenden Abstand von (0,0)
dA=dx*dy ist das Flaechenelement in kartsischen Koordinaten, du sollst aber in Polarkoordinaten rechnen! wie ist das Flaechenelement dA da?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
dA= [mm] d\phi [/mm] *dr
[mm] \integral_{0}^{3 \pi}{}\integral_{0}^{}{1 d \phi dr}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch! [mm] d\phi [/mm] hat keine Laenge!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Aber wie soll ich dann auf dA kommen,ich hab ja nur 2 Parameter?
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Hallo racy90,
> Aber wie soll ich dann auf dA kommen,ich hab ja nur 2
> Parameter?
Verwende die folgende Parametertransformation:
[mm]x=r*\cos\left(\phi\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\phi\right)[/mm]
Und stelle das transformierte Doppelintegral auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay dann bekomme ich mit der "Transformationsdeterminante" heraus :
[mm] \integral_{0}^{}{}\integral_{0}^{3 \pi}{r d \phi dr}
[/mm]
Die obere Grenze vom äußeren Integral weiß ich leider nicht,weil ich mir noch immer nicht vorstellen kann wie das Ding aussieht,ich hab zwar schon wie weiter oben schon erwähnt alles in [mm] \pi [/mm] /6 eingeteilt aber wie bekomme ich die Punkte wenn r= \ phi ist?
oder soll ich die obere Grenze als R ansetzen?
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Hallo racy90,
> okay dann bekomme ich mit der "Transformationsdeterminante"
> heraus :
>
> [mm]\integral_{0}^{}{}\integral_{0}^{3 \pi}{r d \phi dr}[/mm]
>
> Die obere Grenze vom äußeren Integral weiß ich leider
> nicht,weil ich mir noch immer nicht vorstellen kann wie das
> Ding aussieht,ich hab zwar schon wie weiter oben schon
> erwähnt alles in [mm]\pi[/mm] /6 eingeteilt aber wie bekomme ich
> die Punkte wenn r= \ phi ist?
>
> oder soll ich die obere Grenze als R ansetzen?
Das Doppelintegral ergibt sich doch so:
[mm]\integral_{0}^{3\pi}{}\integral_{\phi}^{2 \phi}{r \ dr \ d\phi}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Di 05.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Könnt ihr mir vielleicht noch helfen das Gebiet zu skizzieren.
Ich habe zwar schon meine Koordinatenachsen feiner unterteilt in [mm] \pi [/mm] Unterteilungen aber wenn ich dann zb für [mm] r=\pi [/mm] setze,weiß ich ja nur welche Länge r hat aber nicht welchen Winkel ich nehmen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 05.06.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Könnt ihr mir vielleicht noch helfen das Gebiet zu
> skizzieren.
>
> Ich habe zwar schon meine Koordinatenachsen feiner
> unterteilt in [mm]\pi[/mm] Unterteilungen aber wenn ich dann zb für
> [mm]r=\pi[/mm] setze,weiß ich ja nur welche Länge r hat aber nicht
> welchen Winkel ich nehmen soll
Doch. Mit [mm] $r=\phi$ [/mm] für die eine "untere" Spirale und [mm] $r=2*\phi$ [/mm] für die andere
"obere" Spirale ist [mm] $\phi$ [/mm] bestimmt.
Bei [mm]r=\pi[/mm] ist [mm] $\phi [/mm] = [mm] \pi$ [/mm] für die "untere" Spirale und [mm] $\phi [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] für die "obere" Spirale.
Geht man von [mm] $\phi$ [/mm] aus, und bestimmt danach r, ist es noch einfacher.
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 05.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das sind "Polarkoordinaten"!.
also zeichnest du von 0 aus Strahlen unter den Winkeln. Auf dem Strahl [mm] \pi/6 [/mm] dann in [mm] \pi/6 [/mm] vom 0 Pkt deinen Punkt auf der Winkelhalbierenden [mm] \pi/4 [/mm] dann die Laenge [mm] \pi/4 [/mm] von 0 aus usw. Stell dir KEIN kartesischse Netz vor, sondern eine Art Spinnennetz aus Radien unter dem Winkel [mm] \phi [/mm] und Kreisen mit Abstand r von 0
Gruss leduart
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