Flächeninhalt Einheitskreis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 21.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das dem Einheitskreis einbeschriebene n-Eck [mm] (n\ge [/mm] 3) mit dem größten Flächeninhalt. Gehen Sie dabei wie folgt vor.
(a) Erläutern Sie, warum die Funktion [mm] F_{n}: \IR^{n} \to \IR, F_{n}(x):=\bruch{1}{2}\summe_{i=1}^{n}sin(x_{i}) [/mm] den Flächeninhalt des durch die Winkel
[mm] (x_{1},\ldots ,x_{n}) [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi [/mm] (und [mm] 0\le x_{i}\le 2\pi) [/mm] bestimmten n-Ecks beschreibt. (Hierbei sei [mm] x_{i} [/mm] der Winkel zwischen den Strahlen, die vom Mittelpunkt des Einheitskreises durch den i-ten bzw. den (i + 1)-ten Eckpunkt gehen.)
b) Bestimmen Sie eine mögliche Stelle [mm] x\in \IR^{n} [/mm] für das Maximum der Funktion [mm] F_{n} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators.
c) Warum ist [mm] F_{n} [/mm] an der Stelle x aus b) wirklich maximal? Begründen Sie, für welches [mm] x\in \IR^{n} [/mm] der Flächeninhalt des n-Ecks maximal ist und geben Sie eine geometrische Deutung Ihres Ergebnisses an. |
Hallo!
Ich wollte mal wissen, ob meine Lösung an sich korrekt ist.
a) Der Flächeninhalt von einem Dreieck kann beschrieben werden mit der Formel [mm] A=\bruch{a*b*sin{\gamma}}{2}. [/mm] Da es sich hier um den Einheitskreis handelt entsprechen die Seiten a und b den Radien und haben somit den Wert 1. Es bildet also immer ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel x zwischen den Seiten a und b. Addiert man nun also viele dieser Dreiecke miteinander, dass eine komplette Periode (also [mm] 2\pi) [/mm] durchgegangen wird, so entspricht dass 360°, also der Gradzahl des Kreises. Somit sind die addierten Flächen dann entsprechend dem Flächeninhalt des Einheitskreises.
b) Langrange-Multiplikator:
Sei [mm] h(x_{1},\ldots ,x_{n}, \lambda)= F_{n}(x)+\lambda *\summe_{i+1}^{n}x_{i}
[/mm]
(1): [mm] L_{x_{1}}=\bruch{1}{2}cos(x_{1})+\lambda=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
(n): [mm] L_{x_{n}}=\bruch{1}{2}cos(x_{n})+\lambda=0
[/mm]
(n+1): [mm] L_{\lambda}=\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{i}=cos^{-1}(-2\lambda) [/mm] und [mm] \lambda =-\bruch{1}{2}cos(x_{i}) [/mm] (Habe es hier [mm] x_{i} [/mm] genannt, da man alle Gleichungen 1 - n so umformen kann.)
[mm] \Rightarrow x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}
[/mm]
Also müssen alle Winkel immer gleich groß sein und wegen der Anfangsbedingung aus der Aufgabe [mm] n\ge [/mm] 3 sind es mindestens immer drei Dreiecke.
c) Wichtig ist, dass die Winkelsumme von x immer 360° betragen muss und dass es mindestens ein Dreieck bildet. So bildet das Konstrukt immer ein n-Eck innerhalb des Kreises.
So wirklich einen Fehler finde ich dabei nicht, doch auch absolut sicher bin ich mir nicht. Daher eben die bitte auf Korrektur.
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 21.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das dem Einheitskreis einbeschriebene n-Eck
> [mm](n\ge[/mm] 3) mit dem größten Flächeninhalt. Gehen Sie dabei
> wie folgt vor.
>
> (a) Erläutern Sie, warum die Funktion [mm]F_{n}: \IR^{n} \to \IR, F_{n}(x):=\bruch{1}{2}\summe_{i=1}^{n}sin(x_{i})[/mm]
> den Flächeninhalt des durch die Winkel
> [mm](x_{1},\ldots ,x_{n})[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi[/mm] (und
> [mm]0\le x_{i}\le 2\pi)[/mm] bestimmten n-Ecks beschreibt. (Hierbei
> sei [mm]x_{i}[/mm] der Winkel zwischen den Strahlen, die vom
> Mittelpunkt des Einheitskreises durch den i-ten bzw. den (i
> + 1)-ten Eckpunkt gehen.)
>
> b) Bestimmen Sie eine mögliche Stelle [mm]x\in \IR^{n}[/mm] für
> das Maximum der Funktion [mm]F_{n}[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}[/mm] mit Hilfe des
> Lagrange-Multiplikators.
>
> c) Warum ist [mm]F_{n}[/mm] an der Stelle x aus b) wirklich maximal?
> Begründen Sie, für welches [mm]x\in \IR^{n}[/mm] der
> Flächeninhalt des n-Ecks maximal ist und geben Sie eine
> geometrische Deutung Ihres Ergebnisses an.
> Hallo!
>
> Ich wollte mal wissen, ob meine Lösung an sich korrekt
> ist.
>
> a) Der Flächeninhalt von einem Dreieck kann beschrieben
> werden mit der Formel [mm]A=\bruch{a*b*sin{\gamma}}{2}.[/mm] Da es
> sich hier um den Einheitskreis handelt entsprechen die
> Seiten a und b den Radien und haben somit den Wert 1.
Das kann man durchgehen lassen.
> Es
> bildet also immer ein gleichschenkliges Dreieck mit dem
> Winkel x zwischen den Seiten a und b.
Was ist "Es" ?
> Addiert man nun also
> viele dieser Dreiecke miteinander,
Viele ? 4711 Stück oder 760654 Stück oder ???
> dass eine komplette
> Periode (also [mm]2\pi)[/mm] durchgegangen wird, so entspricht dass
> 360°, also der Gradzahl des Kreises.
Man kann ahnen, was Du sagen willst, Mathematik ists aber nicht.
> Somit sind die
> addierten Flächen dann entsprechend dem Flächeninhalt des
> Einheitskreises.
Lies Dir diesen Satz noch mal durch ! Sei ehrlich: was steht da ?
> b) Langrange-Multiplikator:
> Sei [mm]h(x_{1},\ldots ,x_{n}, \lambda)= F_{n}(x)+\lambda *\summe_{i+1}^{n}x_{i}[/mm]
>
> (1): [mm]L_{x_{1}}=\bruch{1}{2}cos(x_{1})+\lambda=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> (n): [mm]L_{x_{n}}=\bruch{1}{2}cos(x_{n})+\lambda=0[/mm]
> (n+1): [mm]L_{\lambda}=\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{i}=cos^{-1}(-2\lambda)[/mm] und [mm]\lambda =-\bruch{1}{2}cos(x_{i})[/mm]
> (Habe es hier [mm]x_{i}[/mm] genannt, da man alle Gleichungen 1 - n
> so umformen kann.)
> [mm]\Rightarrow x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}[/mm]
Ja, und wie groß ist ein solches [mm] x_i [/mm] ???
>
> Also müssen alle Winkel immer gleich groß sein und wegen
> der Anfangsbedingung aus der Aufgabe [mm]n\ge[/mm] 3 sind es
> mindestens immer drei Dreiecke.
>
> c) Wichtig ist, dass die Winkelsumme von x immer 360°
> betragen muss
> und dass es mindestens ein Dreieck bildet.
Es ?
> So
> bildet das Konstrukt immer ein n-Eck innerhalb des Kreises.
Das kann man keinesfalls als Lösung von c) durchgehen lassen !
FRED
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> So wirklich einen Fehler finde ich dabei nicht, doch auch
> absolut sicher bin ich mir nicht. Daher eben die bitte auf
> Korrektur.
>
> Gruß
> Ardbeg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Do 23.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Hallo!
Danke für die Korrektur. Stimmt habe es an einigen Stellen nicht sehr gut erklärt zum Beispiel war mit es das n-Eck gemeint. Denke aber mal, dass ich es soweit habe.
Der Wert für [mm] x_{i} [/mm] wäre [mm] \bruch{2\pi}{n}. [/mm]
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