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| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte A = (15/2 | -3) und B = (6 | 4). Man wähle einen Punkt C auf der Parabel y = x².
a) Man berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
b) Bei welcher Wahl von C ist der Flächeninhalt minimal? |
Hallo Forum,
ich habe ein kleines Problem mit der Teilaufgabe b)
Die a) konnte ich lösen. Erst: [mm] \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC} [/mm] ausrechnen und dann mit dem Satz von Heron lösen.
Wie gehe ich jetzt vor um herauszufinden bei welchem Punkt der Flächeninhalt minimal wird? Sicher könnt ich viel ausprobieren, aber da muss es doch einen eleganteren Weg geben oder?
Wär toll wenn mir das jemand erklären könnte 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 22.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Gegeben seien die Punkte A = (15/2 | -3) und B = (6 | 4).
> Man wähle einen Punkt C auf der Parabel y = x².
> a) Man berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
> b) Bei welcher Wahl von C ist der Flächeninhalt minimal?
> Hallo Forum,
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> ich habe ein kleines Problem mit der Teilaufgabe b)
> Die a) konnte ich lösen. Erst: [mm]\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}[/mm]
> ausrechnen und dann mit dem Satz von Heron lösen.
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> Wie gehe ich jetzt vor um herauszufinden bei welchem Punkt
> der Flächeninhalt minimal wird? Sicher könnt ich viel
> ausprobieren, aber da muss es doch einen eleganteren Weg
> geben oder?
Nachdem C auf der Parabel liegen soll, gilt für alle möglichen Punkte $C=(x; [mm] x^2)$. [/mm] Jetzt berechnest Du mit damit den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x (d.h. Dein Flächeninhalt wird eine Funktion F(x) sein), und suchst für diese Funktion ganz normal ein Minimum.
Bsp:
$A=(0; -1),\ B=(1;-1),\ [mm] C=(x;(x+1)^2)$
[/mm]
d.h. die Grundlinie ist 1 breit, die Höhe ist [mm] (x+1)^2+1 [/mm] (der y-Wert von C plus 1, weil A und B auf y=-1 liegen)
[mm] $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}*1*((x+1)^2+1)=\frac{(x+1)^2}{2}+\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $F'(x)=x+1\overset{!}{=}0\ \Rightarrow\ [/mm] x=-1$
(theoretisch müßte man jetzt auch noch überprüfen, ob das ganze auch ein Minimum ist)
Bei Deiner Aufgabe ist das nicht ganz so einfach, weil A und B nicht auf einer waagrechten Linie liegen (damit ist das Minimum der Funktion des Flächeninhalts nicht gleich dem Minimum von [mm] x^2 [/mm] ), aber das Prinzip ist das gleiche.
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