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Guten Abend,
Folgende Fkt. ist gegeben:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}x(x-6)^2
[/mm]
Diese Funktion wird im Bereich von -1 bis 8 betrachten, man soll den Flächeninhalt in diesem Bereich berechnen.
Ich hab bereits herausgefunden, dass die Fkt. eine einfache Nullstelle bei 0 hat, und eine doppelte bei 6.
Somit muss ich das Integral folgendermaßen aufteilen:
[mm] |\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}| [/mm] + [mm] \integral_{0}^{8}{f(x) dx}
[/mm]
Nun kann ich die Fkt einsetzen und ausmultiplizieren:
[mm] |\integral_{-1}^{0}{(\bruch{1}{4}x^3-1,5x^2+9x) dx}| [/mm] + [mm] \integral_{0}^{8}{(\bruch{1}{4}x^3-1,5x^2+9x) dx}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt soweit?!
Nun bin ich mir unsicher, wie ich weitermachen muss, va. hab ich Probleme, wie ich die Betragsstriche setzen muss.
ich "denke" es geht so weiter:
= [mm] |\bruch{1}{4}\integral_{-1}^{0}{x^3 dx}| [/mm] - [mm] |1,5\integral_{-1}^{0}{x^2 dx}| [/mm] + [mm] |9\integral_{-1}^{0}{x dx}| [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{0}^{8}{x^3 dx} [/mm] - [mm] 1,5\integral_{0}^{8}{x^2 dx} [/mm] + [mm] 9\integral_{0}^{8}{x dx}
[/mm]
scheint mir reichlich komplex für eigtl ne einfache aufgabe?! Hab ich irgendwo kürzen können oder habe ich da einen Fehler gemacht?
wenn ich nun weiterrechne, komm ich auf nen sehr großen wert: 292,06
der kann ja nicht stimmen
mfg, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 07.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
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> Folgende Fkt. ist gegeben:
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x(x-6)^2[/mm]
>
> Diese Funktion wird im Bereich von -1 bis 8 betrachten, man
> soll den Flächeninhalt in diesem Bereich berechnen.
>
> Ich hab bereits herausgefunden, dass die Fkt. eine einfache
> Nullstelle bei 0 hat, und eine doppelte bei 6.
>
> Somit muss ich das Integral folgendermaßen aufteilen:
>
> [mm]|\integral_{-1}^{0}{f(x) dx}|[/mm] + [mm]\integral_{0}^{8}{f(x) dx}[/mm]
>
> Nun kann ich die Fkt einsetzen und ausmultiplizieren:
>
> [mm]|\integral_{-1}^{0}{(\bruch{1}{4}x^3-1,5x^2+9x) dx}|[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{8}{(\bruch{1}{4}x^3-1,5x^2+9x) dx}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt soweit?!
Nicht ganz. [mm] (x-6)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - 12x + 36. Du erhältst dann nicht [mm] -1,5x^2, [/mm] sondern [mm] -3x^2.
[/mm]
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> Nun bin ich mir unsicher, wie ich weitermachen muss, va.
> hab ich Probleme, wie ich die Betragsstriche setzen muss.
Wenn du wirklich nur Flächeninhalte berechnen sollst (wenn also alle Teilflächen positiv zählen), dann nimmst du von allen Teilintegralen grundsätzlich die Beträge.
Gruß Abakus
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> ich "denke" es geht so weiter:
>
> = [mm]|\bruch{1}{4}\integral_{-1}^{0}{x^3 dx}|[/mm] -
> [mm]|1,5\integral_{-1}^{0}{x^2 dx}|[/mm] + [mm]|9\integral_{-1}^{0}{x dx}|[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4}\integral_{0}^{8}{x^3 dx}[/mm] -
> [mm]1,5\integral_{0}^{8}{x^2 dx}[/mm] + [mm]9\integral_{0}^{8}{x dx}[/mm]
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> scheint mir reichlich komplex für eigtl ne einfache
> aufgabe?! Hab ich irgendwo kürzen können oder habe ich da
> einen Fehler gemacht?
> wenn ich nun weiterrechne, komm ich auf nen sehr großen
> wert: 292,06
> der kann ja nicht stimmen
>
> mfg, Michael
>
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ups, leichtsinnsfehler:
[mm] |\integral_{-1}^{0}{(\bruch{1}{4}x^3-3x^2+9x) dx}|+\integral_{0}^{8}{(\bruch{1}{4}x^3-3x^2+9x) dx} [/mm]
dann habe ich zuerst das im Betrag berechnet:
[mm] \bruch{1}{4}\left[ \bruch{x^4}{4} \right]^0_{-1}-3\left[ \bruch{x^3}{3} \right]^0_{-1}+9\left[ \bruch{x^2}{2} \right]^0_{-1}
[/mm]
...
[mm] =-5\bruch{9}{16}
[/mm]
dann der andere Teil:
[mm] \bruch{1}{4}\left[ \bruch{x^4}{4} \right]^8_{0}-3\left[ \bruch{x^3}{3} \right]^8_{0}+9\left[ \bruch{x^2}{2} \right]^8_{0}
[/mm]
=32
und dann:
[mm] |-5\bruch{9}{16}|+32=37\bruch{9}{16}
[/mm]
Nun sollte das stimmen oder?
mfg, Michael
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Jo,
bei 6 ist das aber eine doppelte Nullstelle, das heißt der Graph berührt x=0, aber läuft nicht hindurch.
hier der Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
deshalb kann ich gleich von 0 bis 8 integrieren oder?
mfg, Michael
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DjHighlife!
> bei 6 ist das aber eine doppelte Nullstelle, das heißt der
> Graph berührt x=0, aber läuft nicht hindurch.
Du meinst [mm] $\red{y} [/mm] \ = \ 0$ .
> deshalb kann ich gleich von 0 bis 8 integrieren oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt. Aber auch dazuschreiben in der Lösung!
Gruß
Loddar
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