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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 08.04.2006 | | Autor: | benemaja |
| Aufgabe | Die Astroide hat die Gleichungen x = r (cos( [mm] \delta))^3 [/mm] , y = [mm] r(sin/delta))^3
[/mm]
Wie großt ist die von ihr eingeschlossene Fläche? |
Hallo!
Kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe ein kleines Probelm mit dem Ansatz.
(muss ich jetzt mit einem Doppelintegral beginnen, und einmal nach x und einmal nach y integrieren?)
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Mfg Bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Laut Wikipedia gilt für die Fläche [mm] A=\bruch{3}{8}*\pi*a^{2}[/mm]
Gilt aber nur, wenn dein [mm] \delta [/mm] eine reelle Zahl ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Astroide
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Sa 08.04.2006 | | Autor: | benemaja |
Danke erstma!
Ich habe eine kleine Frage:
Wie sieht genau die Herleitung aus?
Ich habe jetzt einmal versucht, dass über ein doppelintegral zu lösen:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \integral_{c}^{d}{dy} dx}
[/mm]
Wie kann ich das jetzt weiter auflösen?
Wie binde ich darin jetzt die Gleichungen der Astroide ein?
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
mfg Bene
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mo 10.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Bene, ein Bezug zur E-Technik ist ja nicht zu erkennen.
Ich schreibe mal [mm]x = a cos^3(t)[/mm] [mm]y = a sin^3(t)[/mm].
Eigentlich sollte es elegant mit Polarkoordinaten gehen, doch ist
[mm]t \neq \varphi[/mm].
Aber es geht auch "ganz normal".
Beide Gleichungen hoch 2/3 damit:
[mm]x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}[/mm] und weiter:
[mm]y = \sqrt{(a^{2/3} - x^{2/3})^3}[/mm].
Ein vier mal ein Viertel der Gesamtfläche ist nun gegeben durch
[mm]A = 4 \int^a_0 \sqrt{(a^{2/3} - x^{2/3})^3} dx[/mm]
Die Substitution [mm] x = u^3[/mm] ergibt dann
[mm]A = 12 \int^{a^{1/3}}_0 u^2 \sqrt{(a^{2/3} - u^2)^3} du[/mm] .
Dies läßt sich in einer Integraltafel nachschlagen, wobei ich nur den einzig interessanten Teil der Stammfunktion hinschreibe, alle anderen werden eh Null:
[mm]A = 12 [\frac{a^2}{16}] \arcsin(\frac{u}{a^{2/3}}) = \frac{3}{8}\pi a^2[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 12.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Das geht etwas schöner mit Polarkoordinaten. Wenn man [mm]\frac{d \varphi}{d \delta} [/mm] hinschreibt, dann kürzt sich eine ganze Menge weg und es bleibt [mm] 3 \int_0^{2 \pi} cos(\delta)^2 sin(\delta)^2 d \delta[/mm] übrig.
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