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Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 So 06.12.2009
Autor: Elisabeth17

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= x + [mm] e^{-x}. [/mm]
a) Untersuchen Sie das Schaubild auf Extrem- und Wendestellen sowie Asymptoten.
b) Das Schaubild von f, die Asymptote und die y-Achse begerenzen eine (ins Unendliche reichende9 Fläche. Untersuchen Sie, ob diese einen endlichen Flächeninhalt hat.

Hallo Matheforum!

Bin gerade am Rechnen dieser Aufgabe.
a) habe ich schon erledigt:
Extremstelle bei x=0 (und zwar ein Minimum M(0|1)).
keine Wendestellen

Keine senkrechte oder waagrechte Asymptoten, aber eine schiefe Asymptote (y=x).

Jetzt habe ich aber ein Problem beim Lösen der Teilaufgabe b):

Mein bisheriger "Rechenweg"/ meine Überlegungen sehen so aus:

[mm] \integral_{0}^{a}{(x+\bruch{e}{x})-x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{a}{\bruch{e}{x} dx} [/mm] = [e*ln(x)]b,0 = e*ln(b)-e*ln(0)

Jetzt ist es doch so, dass e*ln(0) keine Lösung hat. Wie behandle ich das Ganze dann?

Stünde dort etwas anderes, hätte ich geschrieben:
Für [mm] a->+\infty [/mm] strebt xy gegen blablabla …
bzw. hat xy keinen Grenzwert und damit hat die Fläche keinen endlichen Flächeninhalt.

Wie mache ich das aber mit e*ln(b)-e*ln(0) ?

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!

LG Eli

        
Bezug
Flächeninhalt: falsch umgeformt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 So 06.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Elisabeth!


Du hast hier falsch umgeformt, da [mm] $e^{-x} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \bruch{e}{x}$ [/mm] !

Die Stammfunktion zu [mm] $e^{-x}$ [/mm] lautet [mm] $-e^{-x}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 So 06.12.2009
Autor: Elisabeth17

Hallo Loddar,

danke für die Hilfe!

Die schiefe Asymptote y=x ist ja dennoch richtig, oder?

Damit ist die Stammfunktion [mm] -e^{-a}+e^{0}= -e^{-a}+1 [/mm]

F+r [mm] a->+\infty [/mm] strebt [mm] -e^{-a}+1 [/mm] gegen 1.
Der Inhalt der gesuchten, ins Unendlich recihende Fläche ist damit 1.

Richtig?

LG Eli

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 So 06.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Eli!


[daumenhoch] Allet chic!


Gruß
Loddar


Bezug
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