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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 22.12.2005 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Inhlt der von den Graphen eingeschlossenen Fläche
[mm] A(k)=4\wurzel\bruch{3k}{k^2+1}
[/mm]
beträgt! |
Hallo liebe Leute
hier eine scheinbar simple Aufgabe
die es doch sehr in sich hat.
Gegben sind noch
[mm] f_{k}(x)=kx^2
[/mm]
[mm] g_{k}(x)=3-\bruch{x^2}{k}
[/mm]
also mir fällt dazu nicht allzuviel ein
nur das ich erstmal die Stammfunktionen von den jeweiligen Fkt. bilde.
[mm] f_{k}(x)=kx^2 [/mm]
[mm] F_{k}(x)=\bruch{k}{3}x^3 [/mm] und
[mm] g_{k}(x)=3-\bruch{x^2}{k} [/mm]
[mm] G_{k}(x)=1-\bruch{x^3}{k} [/mm] wobei ich mir bei der nicht sicher bin
dann dachte ich wie die Gesamtfläche auszusehen hätte.
[mm] A_{ges}=A_{f_{k}}+A_{g_{k}}
[/mm]
aber villeicht kann mir jemand sagen ob das der richtige Ansatz ist.
schon aml vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 22.12.2005 | | Autor: | QCO |
Also ganz allgemein rechnet man, wenn man die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen will, Integral obere Funktion - Integral untere Funktion.
Mathematisch ausgedrückt:
Es sei f(x) [mm] \ge [/mm] g(x). Die Fläche zwischen beiden Funktionen ist dann
A= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)-g(x) dx} .
Das gilt wirklich nur, solange f(x) [mm] \ge [/mm] g(x), wenn das mal nur auf manchen Intervallen gilt, muss du die Intervalle einzeln integrieren.
Eine schöne Grafik, die das veranschaulicht, findest du unter
![[]](/images/popup.gif) http://www.schuelerlexikon.de/tafelwerk/700/fs_mcd/tw_s38.htm
So, um jetzt diese Aufgabe zu lösen, musst du außerdem noch die Grenzen a und b bestimmen, in denen du integrierst.
Das sind die Punkte, in denen sich [mm] f_{k} [/mm] und [mm] g_{k} [/mm] schneiden.
Kontrollergebnis für dich: a=- [mm] \bruch{\wurzel{3 k}}{k^{2}+1}
[/mm]
Jetzt musst du 'nur' noch integrieren.
Deine zweite Stammfunktion [mm] G_{k} [/mm] ist aber falsch.
Es müsste [mm] G_{k} [/mm] = 3 x - [mm] \bruch{x^{3}}{3 k} [/mm] sein.
So, ich hoffe mit dieser kleinen Anleitung kannst du die Aufgabe lösen
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