Flächenberechnung in Parabel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Stah |
Hallo leute...ich bin am verzweifeln...
schreibe morgen eine matheklausur und ich komme mit vielen aufgaben nicht klar
z.B. diese hier:
Die Fläche,die vom graph der funktion F mit F(x)=-4x²+12 und der
X-Achse umschlossen wird,wird ein achsen-paralleles Rechteck so einbeschrieben,dass 2 Rechteckspunkte auf Gf liegen und eine Rechteckseite auf der X-Achse liegt.Bestimme die koordinaten der Rechteckspunkte,so dass der Flächeninhalt Maximal wird!!!!!!!
ich hoffe ihr könnt mir helfen und zwar schnell
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Stah
Dein Problem ist garnicht so schwer  ! Die funktion [mm] $f(x)=-4x^2+12$ [/mm] ist zur y-Achse symetrisch, da man f(x)=f(-x).
Das Rechteck hat also den Flächeninhalt [mm]A(x)=2x*f(x)=2*|x|*(-4x^2+12)=-8|x|x^2+24x[/mm] Da setets ein Punkt rechts und einer links von der y-Achse liegt, kann man die Funktion A(x) wenn man sie von dem rechten oberen Punkt abhängig macht auf [mm] $A(x)=-8x^3+24x$ [/mm] vereinfachen mit [mm] D_A=R^+
[/mm]
Jetzt musst du nur noch den Wert [mm] x_{max} [/mm] für den A(x) einen Hochpunkt hat bestimmen und [mm] x_{max} [/mm] und [mm] -x_{max} [/mm] in f einsetzen.
Probier jetzt mal, ob das alleine schafst
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Stah |
ok gut aber ich habe noch 2 fragen
-woher weiß ich das der flächeninhalt des rechtecks f(x)=2x*f(x) beträgt
-und wie sähe das ganze aus,wenn es antelle des rechtecks ein trapez wäre
danke für deine mühen
hast du zufällif MSN oder ICQ würde dich gerne noch mehrere sachen fragen wenn es geht
danke
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> -woher weiß ich das der flächeninhalt des rechtecks
> f(x)=2x*f(x) beträgt
Ich nehme einen beliebigen Punkt der auf dem Graphen liegt, also die Koordinaten (x|f(x)) hat. Nun ist das Rechteck aber achsensymetrisch (Aufgabenstellung) und ein weitere Eckpunkt liegt auf der x-Achse(x|0). Somit ist eine Seitenläng f(x).
Der andere Eckpunkt ("oben links") hat nun ebenfalls als y-Koordinate seinen Funktionswert [mm] f(x_2). [/mm] Es soll nun also gelten [mm] f(x_2)=f(x). [/mm] Und die ist offentsichlich nur für [mm] x_2=-x [/mm] möglich. Somit hat die andere Seite des Rechtecks die Länge der Strecke von -x bis x, also x-(-x)=2x
Und daher ist der Flächeninhalt 2x*f(x)
> -und wie sähe das ganze aus,wenn es antelle des rechtecks
> ein trapez wäre
Nun das Problem ist nich viel schwerer! ich nehme mal an, dass beide parallelen Seiten auch zur x-Achse parallel sein sollen. Es gilt nun, dass die Grundseite [mm] 2*x_0 [/mm] ist. [mm] (x_0 [/mm] bezeichnet hierbei die Nullstelle von f)
Die Höhe des Trapezes ist f(x). (Man geht wieder von einem belibigen Punkt (x|f(x) aus). Die andere zur x-Achse parallele Seite beträgt 2*x(Begründung s.o.)
Damit ergibt sich mit der Flächenformel für Trapeze:
[mm] $A_t(x)=\frac{2x+2x_0}{2}*f(x)$ [/mm] Es gilt nun wiederum den Hochpunkt zu bestimmen. Das müsstest du jetzt wahrscheinlich problemlos hinbekommen
> danke für deine mühen
> hast du zufällif MSN oder ICQ würde dich gerne noch
> mehrere sachen fragen wenn es geht
Leider nicht:-(
Aber du kannst dich ja hier im Forum oder bei mir über PMs melden, wenn du irgendwelche Fragen haben solltest!
Gruß Samuel
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