Flächenberechnung durch Koord. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 26.02.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Die 4 komplexen Zahlen
[mm] z_{1}=3+4i
[/mm]
[mm] z_{2}=1-4i
[/mm]
[mm] z_{3}=-6+i
[/mm]
[mm] z_{4}=-3-7i
[/mm]
bilden in der Gauß'schen Ebene durch Verbindung der Koordinaten ein Viereck, bestehend aus den Seiten a,b,c,d. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Vierecks. Gebe dabei auch die Argumente der komplexen Zahlen an. |
Vorweg:
a liegt zwischen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{3}
[/mm]
b liegt zwischen [mm] z_{3} [/mm] und [mm] z_{4}
[/mm]
c liegt zwischen [mm] z_{2} [/mm] und [mm] z_{4}
[/mm]
d liegt zwischen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2}
[/mm]
Ich benenne hierbei die Argumente der komplexen Zahlen mit [mm] \lambda [/mm] , da phi hiet nicht dargestellt werden kann.
Also was ich nun gemacht habe:
1. Schritt: Berechnung der Beträge und Argumente der komplexen Zahlen.
[mm] ||z_{1}||=5
[/mm]
[mm] \lambda_{1}\approx53,13
[/mm]
[mm] ||z_{2}||\approx4,12311
[/mm]
[mm] \lambda_{2}\approx248,036
[/mm]
[mm] ||z_{3}||\approx6,08
[/mm]
[mm] \lambda_{3}\approx170,538
[/mm]
[mm] ||z_{4}||\approx7,62
[/mm]
[mm] \lambda_{4}\approx246,8
[/mm]
2. Schritt Berechnung der Seiten a,b,c und d, mit deren Beträgen
a: zwischen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{3}
[/mm]
[mm] a=z_{1}-z_{3}=3+4i-(-6+i)=9+3i
[/mm]
b: zwischen [mm] z_{3} [/mm] und [mm] z_{4}
[/mm]
[mm] b=z_{3}_z_{4}=-6+i-(-3-7i)=-3+8i
[/mm]
c: zwischen [mm] z_{2} [/mm] und [mm] z_{4}
[/mm]
[mm] c=z_{2}-z_{4}=1-4i-(-3-7i)=4+3i
[/mm]
d: zwischen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2}
[/mm]
[mm] d=z_{1}-z_{2}=3+4i-(1-4i)=2+8i
[/mm]
[mm] ||a||\approx9,49
[/mm]
[mm] ||b||\approx8,54
[/mm]
||c||=5
[mm] ||d||\approx8,25
[/mm]
Es ist mir nun schon peinlich das zu Fragen,da es sich nur um die Berechnung eines Vierecks handelt, aber wie mache ich nun weiter? Ich habe mir gedacht ich unterteile das Viereck in 2 Dreiecke und berechne diese dann. Aber irgendwie mache ich da was falsch. Ich habe damit angefangen, eine Gerade zwischen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{4} [/mm] zu ziehen und dessen Betrag [mm] (||v||\approx12,53) [/mm] zu berechnen. Was nun? Wie mache ich jetzt weiter? Oder : habe ich einen Fehler gemacht oder einen Denkfehler?
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Hallo [mm] b^2,
[/mm]
das sieht nach Fleißarbeit aus...
> Die 4 komplexen Zahlen
> [mm]z_{1}=3+4i[/mm]
> [mm]z_{2}=1-4i[/mm]
> [mm]z_{3}=-6+i[/mm]
> [mm]z_{4}=-3-7i[/mm]
> bilden in der Gauß'schen Ebene durch Verbindung der
> Koordinaten ein Viereck, bestehend aus den Seiten a,b,c,d.
> Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Vierecks.
> Gebe dabei auch die Argumente der komplexen Zahlen an.
> Vorweg:
> a liegt zwischen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{3}[/mm]
> b liegt zwischen [mm]z_{3}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm]
> c liegt zwischen [mm]z_{2}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm]
> d liegt zwischen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
Sieht kraus aus, stimmt aber!
> Ich benenne hierbei die Argumente der komplexen Zahlen mit
> [mm]\lambda[/mm] , da phi hiet nicht dargestellt werden kann.
Wo, hier? Du hast die Wahl zwischen [mm] \Phi, \phi [/mm] und [mm] \varphi. [/mm] Ich würde hier eine der beiden Schriftformen des Kleinbuchstabens nehmen, der Deutlichkeit halber am besten [mm] \varphi.
[/mm]
Geh mit der Maus über den Buchstaben oder klick drauf, oder lass Dir den Quelltext des Artikels anzeigen.
> Also was ich nun gemacht habe:
> 1. Schritt: Berechnung der Beträge und Argumente der
> komplexen Zahlen.
> [mm]||z_{1}||=5[/mm]
> [mm]\lambda_{1}\approx53,13[/mm]
>
> [mm]||z_{2}||\approx4,12311[/mm]
> [mm]\lambda_{2}\approx248,036[/mm]
Hier stimmt das Argument nicht. Überleg mal, in welchem Quadranten [mm] z_2 [/mm] liegt. Ah, ich sehe gerade, dass Du nur einen Zahlendreher drin hast:
[mm] \varphi_2\approx 2\blue{84},036
[/mm]
> [mm]||z_{3}||\approx6,08[/mm]
> [mm]\lambda_{3}\approx170,538[/mm]
>
> [mm]||z_{4}||\approx7,62[/mm]
> [mm]\lambda_{4}\approx246,8[/mm]
Soweit ok, bis auf den Dreher.
> 2. Schritt Berechnung der Seiten a,b,c und d, mit deren
> Beträgen
>
> a: zwischen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{3}[/mm]
> [mm]a=z_{1}-z_{3}=3+4i-(-6+i)=9+3i[/mm]
> b: zwischen [mm]z_{3}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm]
> [mm]b=z_{3}_z_{4}=-6+i-(-3-7i)=-3+8i[/mm]
> c: zwischen [mm]z_{2}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm]
> [mm]c=z_{2}-z_{4}=1-4i-(-3-7i)=4+3i[/mm]
> d: zwischen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> [mm]d=z_{1}-z_{2}=3+4i-(1-4i)=2+8i[/mm]
>
> [mm]||a||\approx9,49[/mm]
> [mm]||b||\approx8,54[/mm]
> ||c||=5
> [mm]||d||\approx8,25[/mm]
Alles richtig. Damit hast Du ja schonmal alles Material zur Berechnung des Umfangs.
> Es ist mir nun schon peinlich das zu Fragen,da es sich nur
> um die Berechnung eines Vierecks handelt, aber wie mache
> ich nun weiter? Ich habe mir gedacht ich unterteile das
> Viereck in 2 Dreiecke und berechne diese dann. Aber
> irgendwie mache ich da was falsch. Ich habe damit
> angefangen, eine Gerade zwischen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm] zu ziehen
> und dessen Betrag [mm](||v||\approx12,53)[/mm] zu berechnen.
Auch richtig, Ansatz und Berechnung sind ok.
> Was
> nun? Wie mache ich jetzt weiter? Oder : habe ich einen
> Fehler gemacht oder einen Denkfehler?
Bisher ist alles gut.
Wahrscheinlich hast Du nur den ![[]](/images/popup.gif) Satz des Heron vergessen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 26.02.2013 | | Autor: | bquadrat |
Also erst mal danke (an alle). Ich denke jedoch, dass ich dem ersten Ratschlag folgen werde :) also zu erst habe ich den Umfang berechnet:
[mm] u=||a||+||b||+||c||+||d||\approx28,51312
[/mm]
Laut dem Satz des Heron berechnet man den Flächeninhalt so:
[mm] A=\wurzel{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
[/mm]
wobei [mm] s=\bruch{1}{2}u
[/mm]
setze ich nun die Größen ein erhalte ich:
[mm] A=38,93466cm^{2}
[/mm]
Wegen den Argumenten:
[mm] z_{1} [/mm] habe ich ja richtig,
dann [mm] z{2}\approx284,03624
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] müsste eigentlich wirklich das ergeben, was ich raushabe... (auch wenn ich nachmesse) ich habe ja den [mm] arctan(\bruch{1}{-6}) [/mm] berechnet und 180° hinzugerechnet
dann [mm] z_{4}\approx246,80141
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Also erst mal danke (an alle). Ich denke jedoch, dass ich
> dem ersten Ratschlag folgen werde :) also zu erst habe ich
> den Umfang berechnet:
> [mm]u=||a||+||b||+||c||+||d||\approx28,51312[/mm]
> Laut dem Satz des Heron berechnet man den Flächeninhalt
> so:
> [mm]A=\wurzel{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}[/mm]
> wobei [mm]s=\bruch{1}{2}u[/mm]
Das gilt nur, wenn das Viereck ein Sehnenviereck ist. Ansonsten ist die Fläche kleiner!
> setze ich nun die Größen ein erhalte ich:
> [mm]A=38,93466cm^{2}[/mm]
Du hattest doch vorgeschlagen, das Viereck durch eine seiner Diagonalen in zwei Dreiecke zu teilen und die beiden Flächen zu addieren. Da die Seitenlängen vorliegen und Du auch schon eine Diagonale richtig bestimmt hast, kannst Du mit der Heron-Formel die Flächen der beiden Teildreiecke bestimmen.
> Wegen den Argumenten:
> [mm]z_{1}[/mm] habe ich ja richtig,
> dann [mm]z{2}\approx284,03624[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] müsste eigentlich wirklich das ergeben, was ich
> raushabe... (auch wenn ich nachmesse) ich habe ja den
> [mm]arctan(\bruch{1}{-6})[/mm] berechnet und 180° hinzugerechnet
> dann [mm]z_{4}\approx246,80141[/mm]
Du meinst hier die [mm] \varphi_i, [/mm] nicht die [mm] z_i.
[/mm]
Aber daran war doch gar nichts zu bemängeln.
Nur an einer Stelle hast Du hier beim Eintippen zwei Ziffern vertauscht, das ist auch schon alles. Alles andere war richtig.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 26.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Fläche lässt sich einfacher berechnen, indem du das umspannende Rechteck [mm] (9\times11) [/mm] betrachtest und die Flächeninhalte der überschüssigen rechtwinkligen Dreiecke und des kleinen Rechtecks subtrahierst.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 26.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Formeln, Formeln,...
http://de.wikipedia.org/wiki/Viereck
FRED
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