Flächenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Tizian |
| Aufgabe | | Der Graph von f, die Asymptote und die Geraden x=5 und x=k (k>5) begrenzen ein Flächenstück. Berechnen sie dessen Inhalt A(k) in Abhängigkeit von k. Wie verhält sich der Inhalt für [mm] k->\infty? [/mm] |
[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9}
[/mm]
Die Asymptote ist ja x=3.
Also muss ich erst die Fläche unter f im Intervall [3;5] berechnen und anschließend in [mm] [3;\infty].
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{4}{3}x+4*ln(|x-3|)
[/mm]
(hoffe, die Stammfunktion passt.)
gesuchte erste Fläche:
[mm] \limes_{g\rightarrow\3}(F(5)-F(g))
[/mm]
g strebt nach 3; g>3 (Grafikfehler)
[mm] n(k)=3+\bruch{1}{k} [/mm]
[mm] =F(5)-\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(3+\bruch{1}{k})^{2}+\bruch{4}{3}*(3+\bruch{1}{k})+4*ln(|3+\bruch{1}{k}-3|))
[/mm]
Der letzte Summand mit dem ln-Operator wird eigentlich 0, was mathematisch nicht erklärt ist. Wo liegt mein Fehler?
LG Tizian
ps: F(5) ist kein Problem zu berechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tizian!
> Die Asymptote ist ja x=3.
Hier ist die Asymptote für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] gemeint.
Diese schräge Asymptote $a(x)_$ erhältst Du mittels  Polynomdivision:
[mm] $$\left(3x^2-5x\right) [/mm] \ : \ (3x-9) \ = \ a(x)+...$$
Damit ist die gesuchte Fläche:
$$A(k) \ = \ [mm] \integral_5^k{f(x)-a(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Tizian |
Ich habe nicht verstanden und auch noch nicht im Unterricht behandelt, wie ich eine schräge Asymptote bestimmen kann.
Ich muss es trotzdem wissen, die Aufgabe muss ich morgen abgeben...
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Hallo,
> Ich habe nicht verstanden und auch noch nicht im Unterricht
> behandelt, wie ich eine schräge Asymptote bestimmen kann.
Loddar hat doch geschrieben, wie man das macht und außerdem noch einen link spendiert.
>
> Ich muss es trotzdem wissen, die Aufgabe muss ich morgen
> abgeben...
Da fängst du ja früh an ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tizian!
Dann forme um wie folgt:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{3x^2-5x}{3x-9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*\left(x^2-\bruch{5}{3}x\right)}{3*(x-3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-\bruch{5}{3}x}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-\bruch{5}{3}x \ \red{-4+4}}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-\bruch{5}{3}x -4}{x-3}+\bruch{4}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(x-\bruch{4}{3}\right)*(x-3)}{x-3}+\bruch{4}{x-3} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Tizian |
Ich versteh die Erklärung nicht und wenn ich die Aufgabe heute aufbekommen hab, kann ich die auch erst jetzt machen. Neben Schule mach ich auch Leistungssport... Außerdem muss ich mich nicht rechtfertigen.
Also Polynomendivision hab ich und dann???
Tut mir leid, dass ich diese komischen Erklärung, wie sie auch bei wikipedia stehen nicht verstehe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tizian!
> Also Polynomendivision hab ich und dann???
Ja? Und wie lautet Dein Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach der Polynomdivision steht da y=x-5/3 +Zahl/(3x-9)
für grosse x wird Zahl/(3x-9) beliebig klein, d,h. die Ursprüngliche fkt ist immer näher an der Geraden
g(x)=x-5/3 deshalb nennt man diese Gerade Assymptote für x gegen [mm] \infty.
[/mm]
andere Weg als Polynomdiv.
[mm] \bruch{3x^2-5x}{3x-9}=\bruch{x-5/3}{1-3/x}
[/mm]
heir sieht man auch, dass der Nenner für grosse x immer mehr zu 1 wir, es bleibt also [mm] \bruch{x-5/3}{1} [/mm] als Assymptote.
So patzig, wie du geantwortet hast kannst du nicht oft auf Hilfe vertrauen, narürlich kannst du dich wehren, wenn falsche Vorwürfe kommen, aber bleib nett dabei, denn du willst Hilfe, nicht wir brauchen "Kunden"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Tizian |
Tut mir leid, du hast recht, ich habe überreagiert. Ich bin nur so unglaublich wütend, dass unser Mathelehrer uns immer wieder Aufgaben gibt, die wir so gar nicht lösen können, weil wir bestimmte Verfahren noch nicht besprochen haben (von einer solchen Polynomendivision habe ich gestern das erste mal was gehört, ich hätte also noch nicht mal die Stammfunktionm bilden können).
De facto komme ich auf folgende Abhängigkeit:
Fläche (k) =F(k)-A(k)-F(5)+A(5)
Fläche (k)=4*ln(|k-3|)+41,106 FE
Wenn ich jetzt k -> [mm] \infty [/mm] streben lasse, was kommt dann unter ln raus? Auch [mm] \infty?
[/mm]
Hoffe auf eine letzte Hilfe,
LG Tizian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nen Fehler gemacht:
Polynomdivision ergibt:
[mm] (3x^2-5x)/(3x-9)=x+4/3+4/(x-3)
[/mm]
die Assymptote ist also g(x)= x+4/3 nicht x-5/3
dann musst du integrieren von 5 bis k
über f(x)-g(x)=4/(x-3)
das Integral ergibt 4*ln(x-3)
die Grenzen eingesetz 4*ln(k-3)-4*ln(2)
für k gegen unendlich also unendlich.
wo deine 41,..FE herkommen seh ich nicht
bei mir kommt da -4.69FE raus
Gruss leduart
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