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| Aufgabe | 16. Gegeben ist die Funktion: [mm]f(x)\ =\ \bruch{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}}[/mm]
a) max. Def.bereich
b) Zeige, dass die Funktion F mit [mm]F(x)\ = \ \bruch{x^2}{1-x}[/mm] eine Stammfunktion zu f ist!
c) Vom Graphen [mm] G_{f} [/mm] und den 3 Geraden mit den Gleichungen y+1=0, x-2=0 und x-k=0, (k>2), wird ein Flächenstück mit den Inhalt J(k) eingeschlossen. Berechne J(k)!
d) Ermittle [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] J(k)! |
Hi,
also:
a) [mm]\IR ohne {1}[/mm]
hatte paar Probleme mit den schreiben hier im Forum^^
b) Um zu zeigen, dass F eine Stammfunktion zu f ist, muss man sie ableiten, da die Ableitung der Integralfunktion gleich der Integrantenfkt ist und jede Inegrantenfkt eine Stannfunktion ist!?
Also: [mm]F'(x)\ =\ \bruch{2x * (1-x) - x^{2} * (-1)}{(1-x)^{2}}[/mm]
bissl zusammenfassen usw..:
= [mm] \bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Zähler passt soweit, nur der Nenner macht mir Probleme....
ich hoffe meine Idee ist hier richtig.
c) Man hat ja 4 Geraden:
1. [mm]f(x)\ =\ \bruch{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}}[/mm]
2. y+1=0 --> y = -1
3. x-2=0 --> x=2
4. x-k=0 --> x=k
mit k größer als 2
hab mir da mal ein Bild gemacht
http://img53.imageshack.us/img53/714/unbenannt1ms7.jpg
ich muss also die grüne Fläche berechnen in Abhängigkeit zu einer 4. Geraden, die parallel zur y-Achse durch einen Punkt läuft, der größer als 2 ist.
ich hab mir da folgendes Überlegt:
Zuerst berechne ich die Fläche grün und lila in Abnhängikeit von k und ziehe dann die lila Fläche ab.
die Lila Fläche sollte dann so lauten:
[mm] \integral_{2}^{k}{\bruch{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}}dx}
[/mm]
und das grüne und lila zusammen:
1 * k
Gehe ich da richtig vor? oder gibt es einen anderen Weg?
d) dazu brauche ich Lößung von c^^
mfg, Michael
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo DjHighlife,
Zu a) scheint alles klar zu sein. Der maximale Def.Bereich ist [mm] \IR\backslash\{1\} [/mm]
[mm] (\IR [/mm] ohne [mm] \{1\})
[/mm]
Zu b) Wenn du zeigen sollst, dass eine gegebene Fkt die Stammkunktion ist, dann kannst du entweder die Stammfunktion der gegebenen Funktion aufstellen und vergleichen oder eben die gegebene Stammfunktion ableiten, da ja [mm] \[F(x)]'=f(x)\ [/mm] . Meistens wird die Stammfunktion gegeben, weil diese zu erstellen zu aufwendig oder zeitaufwendig ist. Mann soll zeigen, dass diese richtig ist, um mit ihr anschließend zu arbeiten.
[mm] [F(x)]'=[\bruch{x^{2}}{(1-x)}]'=\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Das sieht ja schon fast wie die gegebene Funktion aus, wäre da nicht das [mm] (1-x)^{2} [/mm] im Nenner.
Das ist aber eigentlich kein Problem, denn [mm] (1-x)^{2}=(1-x)*(1-x)=(-1)(x-1)*(-1)(x-1)*=(+1)(x-1)*(x-1)=(x-1)^{2}. [/mm] Und so schnell steht das da, was wir brauchen!
nun zur c)
Ob es einen leichteren Weg gibt, die Fläche zu berechnen weiß ich nicht. Ich würde genauso heran gehen, wie du.
[mm] J(k)=k-|\integral_{2}^{k}{\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}} dx}|=k+\integral_{2}^{k}{\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}} dx}=k+F(k)-F(2)=k+\bruch{k^{2}}{1-k}-\bruch{2^{2}}{1-2}=\bruch{k}{1-k}+4
[/mm]
Den Betrag kann man weglassen und dafür den Term mit (-1) multiplizieren, da die Fläche unterhalb der X-Achse ist, und damit immer kleiner als 0 ist.
(Tippfehler nicht ausgeschlossen^^)
und zuletzt zur d)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{k}{1-k}+4 [/mm] sollte jetzt nicht mehr so schwer sein^^
Ich hoffe alle Unklarheiten wurden beseitigt.
lg Kai
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> Hallo DjHighlife,
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> Zu a) scheint alles klar zu sein. Der maximale Def.Bereich
> ist [mm]\IR\backslash\{1\}[/mm]
> [mm](\IR[/mm] ohne [mm]\{1\})[/mm]
>
> Zu b) Wenn du zeigen sollst, dass eine gegebene Fkt die
> Stammkunktion ist, dann kannst du entweder die
> Stammfunktion der gegebenen Funktion aufstellen und
> vergleichen oder eben die gegebene Stammfunktion ableiten,
> da ja [mm]\[F(x)]'=f(x)\[/mm] . Meistens wird die Stammfunktion
> gegeben, weil diese zu erstellen zu aufwendig oder
> zeitaufwendig ist. Mann soll zeigen, dass diese richtig
> ist, um mit ihr anschließend zu arbeiten.
>
> [mm][F(x)]'=[\bruch{x^{2}}{(1-x)}]'=\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}}[/mm]
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> Das sieht ja schon fast wie die gegebene Funktion aus, wäre
> da nicht das [mm](1-x)^{2}[/mm] im Nenner.
>
> Das ist aber eigentlich kein Problem, denn
> [mm](1-x)^{2}=(1-x)*(1-x)=(-1)(x-1)*(-1)(x-1)*=(+1)(x-1)*(x-1)=(x-1)^{2}.[/mm]
> Und so schnell steht das da, was wir brauchen!
>
> nun zur c)
>
> Ob es einen leichteren Weg gibt, die Fläche zu berechnen
> weiß ich nicht. Ich würde genauso heran gehen, wie du.
>
> [mm]J(k)=k-|\integral_{2}^{k}{\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}} dx}|=k+\integral_{2}^{k}{\bruch{2x-x^{2}}{(1-x)^{2}} dx}=k+F(k)-F(2)=k+\bruch{k^{2}}{1-k}-\bruch{2^{2}}{1-2}=\bruch{k}{1-k}+4[/mm]
danke...dann war ich ja gar nicht so falsch.
ich hab allerdings noch eine klitzekleine frage, da ich beim Bruchrechnen immer relativ unsicher bin:
[mm]....=k+\bruch{k^{2}}{1-k}-\bruch{2^{2}}{1-2}=\bruch{k}{1-k}+4[/mm]
muss ich da den Hauptnenner bilden?!
Diese Umformung verstehe ich leider nicht so ganz..
>
> Den Betrag kann man weglassen und dafür den Term mit (-1)
> multiplizieren, da die Fläche unterhalb der X-Achse ist,
> und damit immer kleiner als 0 ist.
>
> (Tippfehler nicht ausgeschlossen^^)
>
> und zuletzt zur d)
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{1-k}+4[/mm] sollte jetzt
> nicht mehr so schwer sein^^
Lößung: [mm] \infty [/mm] , da im Zähler k gegen unendlich geht?!
>
> Ich hoffe alle Unklarheiten wurden beseitigt.
>
> lg Kai
danke für deine Hilfe!
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Hallo DjHighlife,
> danke...dann war ich ja gar nicht so falsch.
> ich hab allerdings noch eine klitzekleine frage, da ich
> beim Bruchrechnen immer relativ unsicher bin:
>
> [mm]....=k+\bruch{k^{2}}{1-k}-\bruch{2^{2}}{1-2}=\bruch{k}{1-k}+4[/mm]
>
> muss ich da den Hauptnenner bilden?!
Ja, das ist der übliche Weg, um Brüche zu addieren
> Diese Umformung verstehe ich leider nicht so ganz..
der hintere Teil, also [mm] $-\bruch{2^{2}}{1-2}$ [/mm] ergibt ja [mm] $=-\bruch{4}{-1}=4$, [/mm] das ist klar, die vorderen mache gleichnamig, erweitere das erste [mm] $k=\frac{k}{1}$ [/mm] also mit [mm] $\blue{(1-k)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow k+\frac{k^2}{1-k}=\frac{k\cdot{}\blue{(1-k)}}{\blue{1-k}}+\frac{k^2}{1-k}=\frac{k-k^2+k^2}{1-k}=\frac{k}{1-k}$
[/mm]
>
> >
> > Den Betrag kann man weglassen und dafür den Term mit (-1)
> > multiplizieren, da die Fläche unterhalb der X-Achse ist,
> > und damit immer kleiner als 0 ist.
> >
> > (Tippfehler nicht ausgeschlossen^^)
> >
> > und zuletzt zur d)
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{1-k}+4[/mm] sollte jetzt
> > nicht mehr so schwer sein^^
>
> Lößsung: [mm]\infty[/mm] , da im Zähler k gegen unendlich geht?!
Nein, der Nenner geht dafür gegen [mm] $-\infty$, [/mm] das gibt also [mm] $\frac{\infty}{-\infty}$, [/mm] das ist ein unbestimmter Ausdruck, das kann alles sein
Klammere im Zähler und Nenner jeweils $k$ aus und kürze es dann weg, danach den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] machen, was ergibt sich?
Ach ja, und die +4 nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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mhh.
also dann:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{1-k}+4[/mm]
im Zähler steht ja sowieso nur k, wenn ich dann den Nenner betrachte und k ausklammere:
1-k = [mm] k(\bruch{1}{k}-1)
[/mm]
dann k kürzen.
dann steht im zähler 0 und limes geht gegen 4?
sry...irgendwie steh ich heut bisschen aufm Schlauch...
mfg, michael
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hmm... fast...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{k}{1-k}+4=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{k}{k(\bruch{1}{k}-1)}+4=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1*(\bruch{1}{k}-1)}+4
[/mm]
Wenn man so umstellt, dann sieht man gegen was diese Folge geht.
lg Kai
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