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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 26.08.2006 | | Autor: | ghl |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar fa durch [mm] f_{a}(x)=\bruch{5e^{x}}{e^{x}+a}, [/mm] wobei a>0.
Die beiden Graphen G für a=2 und [mm] a=e^{4} [/mm] und die Geraden mit den Gleichungen x=(-2) und x=6 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche. |
Dies ist ein Teil einer LK-Abituraufgabe Sachsen-Anhalt, und zwar der letzte. Bis hierher kam ich super durch und dachte mir bei ner simplen Flächenberechnung zwischen zwei Graphen auch nichts Schlimmes, dann aber bemerkte ich, dass ich irgendwie die Stammfunktionen nicht bilden kann, weil ich nicht weiß, wie man hier eine Stammfunktion bestimmt. Normalerweise ist das bei der e-Funktion ja nicht das Problem, aber hier ist ja noch ein Bruch im Spiel. Ergo habe ich keine Ahnung, wie das gehen soll; der Ansatz aber ist ja klar:
[mm] \integral_{-2}^{6}{f_{2}(x)-f_{e^{4}(x)} dx}
[/mm]
Aber wie soll das mit der Stammfunktion gehen. Oder brauche ich dazu etwa die partielle Integration und, wenn ja, wie rechnet man das dann aus??? Wäre superlieb, wenn Ihr alsbald antwortetet.
Danke im Voraus, Euer Steve.
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Hallo.
(EDIT: Sorry für die verspätete Antwort)
> Gegeben ist die Funktionenschar fa durch
> [mm]f_{a}(x)=\bruch{5e^{x}}{e^{x}+a},[/mm] wobei a>0.
> Die beiden Graphen G für a=2 und [mm]a=e^{4}[/mm] und die Geraden
> mit den Gleichungen x=(-2) und x=6 begrenzen eine Fläche.
> Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche.
Nun, der Ansatz ist richtig, jetzt müssen wir bloß mal sehen, was da tatsächlich rauskommt.
Sehen wir uns also mal nach einer Stammfunktion um:
[mm]\integral{f_{2}(x)-f_{e^{4}}(x) dx}
=5\int \left(\frac{e^x}{e^x+e^4}-\frac{e^x}{e^x+2}\right) dx
[/mm]
Substituiere nun [mm] $y=e^x \Rightarrow dx=\frac{1}{y}dy$:
[/mm]
[mm] $=5\int\left(\frac{y}{y+2}+\frac{y}{y+e^4}\right)\cdot\frac{1}{y}dy=5\int\left(\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+e^4}\right)dy$
[/mm]
Dieses Integral ist wiederum elementar lösbar, wobei man das rücksubstituieren nicht vergessen darf!
Gruß,
Christian
(EDIT die 2.: mein amtliches Endergebnis ist (unüberprüfterweise) ca. 15.6)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Sa 26.08.2006 | | Autor: | riwe |
setze doch einfach [mm] e^{x}+a [/mm] = y dann hast du das elementare integral [mm] 5\integral_{}^{}{\frac{ dy}{y}} [/mm] zu lösen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 26.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Ich habe das Integral aufgeteil [mm] \integral_{-2}^{6}{f_{2}(x) dx}-\integral_{-2}^{6}{f_{e^4}(x) dx} [/mm] und beim ersten Integral [mm] z=e^x+2 [/mm] bzw. beim zweiten Integral [mm] z=e^x+e^4 [/mm] substituiert. Als Endergebnis bekomme ich ungefähr 15,609 raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Christian |
Hallo nochmal.
Ob man die additive Konstante mitsubstituiert oder nicht ist doch nun wirklich wurscht.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Sa 26.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Jo, wollte nur mitteilen, dass dein Ergebnis richtig ist ;)
Gruß,
Stefan
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