Flächen zw. Funktionsgraphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe aus Vorwissen/Integralaufgaben:
Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen der Funktionen mit [mm] f(x)=x^3+x^2-x [/mm] und [mm] g(x)=2x^2+x
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Ich habe mir mit Derive erstmal die Graphen angeschaut.
Ich stellte fest, dass sich bei den eingeschlossenen Flächen auch zwei kleine Bereiche befinden, die unterhalb der x-Achse liegen, also negativ sind ! Dann habe ich folgendes ausgerechnet:
- P (-1|1) und Q(2|10) und damit -1 und 2 als Intervall des späteren Integrals
- die NST [mm] x_1 [/mm] von g(x) und [mm] x_2 [/mm] von f(x) (die genauen Werte sind [mm] x_1=-\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})
[/mm]
- die Stammfunktionen [mm] F(x)=\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2 [/mm] und [mm] G(x)=\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Jetzt meine Frage : Gibt es eine einfachere Methode, um die gesuchte Fläche zu berechnen ?
Ich habe die gesuchte Fläche A (=Fläche zwischen den Funktionen f(x) und g(x)) mittels 6 (sechs) Integralen berechnet.
[mm] A=A_1 [/mm] + [mm] A_2
[/mm]
[mm] A_1= \integral_{0}^{2}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{x_2}^{2}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x_2}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] A_2= \integral_{-1}^{0}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{x_1}{g(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_1}^{0}{f(x) dx}
[/mm]
Bei den Integralen muss man natürlich aufpassen, dass man bei den Flächen mit negativem Vorzeichen mit den Beträgen rechnet !
Ist es so richtig, oder geht´s einfacher ?
mfg Schorsch
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An sich ist dierser Lösungsweg schon richtig und vorallem auch sicher.
Ich kenne noch die Möglichkeit die Differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x) zu bilden.
[mm] f(x)-g(x)=x^3-x^2-2x, [/mm] die Stammfunktion ist [mm] D(x)=\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{3}x^3-x^2. [/mm] Jetzt muss man die Schnittstellen der Funtion bestimmen. Diese sind hier [mm] x_{0}=-1, x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=2. [/mm]
Genau wenn sich die Funktionen schneiden, hat die Differenzfunktion ihre Nullstellen.
Es ist bei dieser Methode sehr wichtig, zu prüfen ob eine Funktion immer oberhalb oder unterhalb der Anderen ist.
In diesem Beispiel wechselt das bei der Stelle [mm] x_{1}. [/mm] Bis zu [mm] x_{1}=0 [/mm] ist f(x) oberhalb von g(x), danach ist das umgekehr. Deshalb bleibt es uns nicht erspart 2 mal zu integrieren, einmal von -1 bis 0, und dann von 0 bis 2 und dann jeweils die Beträge zu addieren.
Diese Methode dürfte auch zum gewünschten Ergebnis führen. Man muss eben aufpassen diese Übergänge nicht zu übersehen.
lG Kai
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| Aufgabe 1 | Aufgabe aus Vorwissen/Integralaufgaben:
Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen der Funktionen mit [mm] f(x)=x^3+x^2-x [/mm] und [mm] g(x)=2x^2+x
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Ich habe mir mit Derive erstmal die Graphen angeschaut.
Ich stellte fest, dass sich bei den eingeschlossenen Flächen auch zwei kleine Bereiche befinden, die unterhalb der x-Achse liegen, also negativ sind ! Dann habe ich folgendes ausgerechnet:
- P (-1|1) und Q(2|10) und damit -1 und 2 als Intervall des späteren Integrals
- die NST [mm] x_1 [/mm] von g(x) und [mm] x_2 [/mm] von f(x) (die genauen Werte sind [mm] x_1=-\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2})
[/mm]
- die Stammfunktionen [mm] F(x)=\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2 [/mm] und [mm] G(x)=\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Jetzt meine Frage : Gibt es eine einfachere Methode, um die gesuchte Fläche zu berechnen ?
Ich habe die gesuchte Fläche A (=Fläche zwischen den Funktionen f(x) und g(x)) mittels 6 (sechs) Integralen berechnet.
[mm] A=A_1 [/mm] + [mm] A_2
[/mm]
[mm] A_1= \integral_{0}^{2}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{x_2}^{2}{f(x) dx} [/mm] + [mm] |\integral_{0}^{x_2}{f(x) dx}|
[/mm]
[mm] A_2= \integral_{-1}^{0}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{x_1}{g(x) dx} [/mm] + [mm] |\integral_{x_1}^{0}{f(x) dx}|
[/mm]
Bei den Integralen muss man natürlich aufpassen, dass man bei den Flächen mit negativem Vorzeichen mit den Beträgen rechnet !
Ist es so richtig, oder geht´s einfacher ?
mfg Schorsch
| Aufgabe 2 | | Die Rechnung mit der Differenzfunktion D(x)=f(x)-g(x) und deren Stammfunktion D geht in diesem Fall doch nicht, oder ? |
Kann man die Integrale mit negativen Werten als Summanden so schreiben: [mm] +|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}| [/mm] ?
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Jop, genau so wirds gemacht^^
Also ich bin mir ziehmlich sicher das das immer geht. Aber speziell hier hab ichs extra nochma nachgerechnet.
Über einzelne Flächen ausrechnen komme ich zu [mm] \bruch{7}{12}-\bruch{1}{6}+\bruch{22}{3}-\bruch{14}{3}=\bruch{37}{12} [/mm] Flächeneinheiten
(Tippfehler nicht ausgeschlossen) und genau auf das Gleiche kommt man über [mm] |\integral_{-1}^{0}{f(x)-g(x) dx}|+|\integral_{-1}^{0}{f(x)-g(x) dx}|
[/mm]
Mit dieser Methode hab ich solche Aufgaben nur gelöst.
lG Kai
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| Aufgabe | Leider habe ich andere Ergebnisse raus...
Du hast doch mit der Differenzfunktion d(x)= [mm] f(x)-g(x)=x^3-x^2-2x [/mm] und der Stammfunktion [mm] D(x)=\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{3}x^3-x^2 [/mm] gerechnet, oder ?
Hast Du denn nur mit 4 Teilflächen gerechnet ?
und zwar mit:
[mm] |\integral_{-1}^{x_1}{d(x) dx}|+|\integral_{x_1}^{0}{d(x) dx}|+|\integral_{0}^{x_2}{d(x) dx}|+|\integral_{x_2}^{2}{d(x) dx}|
[/mm]
bei meinen Berechnungen mit den 6 Integralen (4 mit positiven Werten und den beiden mit negativen Werten komme ich auf das Ergebnis: [mm] \bruch{37}{12}-\bruch{5\wurzel{5}}{12}
[/mm]
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mit der Bitte um eine klärende Antwort
Schorsch
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Hmm...
Hab mir die Graphen mal vom PC zeichen lassen und seh das Problem.
Aber eigentlich dürften die Tatsache, dass die einzelnen Funktionen auch im Negativen verlaufen nichts am Ergebnis verändern. Angenommen man verschiebt beide Funktionen unabhängig um die gleiche Zahl a nach oben, z.B mit a=5 (---> f(x) + 5 und g(x) + 5), dann sind beide Funktionen nur noch positiv, und die eingeschlossene Fläche ist immernoch genauso groß. Würde man nun die Differenzfunktion bilden, fallen die a ja wieder heraus (durch a-a=0).
lg Kai
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gut die ausgerechneten Zahlenwerte stimmen nun nicht mehr, aber trotzdem müsste die Methode an sich gehen.
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Habe einen dicken Fehler in meiner Rechnung gefunden:
Die NST von g(x), also [mm] x_1 [/mm] hat die richtigen Werte [mm] (-\bruch{1}{2}|0).
[/mm]
Der x-Wert: [mm] \bruch{-\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{2} [/mm] bezeichnet die links liegende NST von f(x) !
werde das am Tage nochmal durchrechnen und meine Rechnung mit Deinem Weg vergleichen.
vielen Dank für Deine Bemühungen
Schorsch
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| Aufgabe | Aufgabe aus Vorwissen/Integralaufgaben:
Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen der Funktionen [mm] f(x)=x^3+x^2-x [/mm] und [mm] g(x)=2x^2+x
[/mm]
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Nachdem ich mich beim Berechnen vieler kleiner Teilflächen total verrechnet hatte, sah ich ein, dass die mir gemachten Hinweise richtig waren !
Jetzt meine Frage:
Wenn man die Differenzfunktion d(x) mit f(x)-g(x) gebildet hat und deren Stammfunktion D(x) mit den errechneten Intervallpunkten -1 und 2 in das Integral schreibt, kann man das dann so schreiben:
[mm] \integral_{-1}^{2}{d(x) dx}=[D(x)]^2_{-1}=|D(2)|+|D(-1)| [/mm] ?
Für [mm] D(x)=\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{3}x^3-x^2 [/mm] habe ich als Ergebnis der gesuchten Fläche [mm] \bruch{37}{12} [/mm] raus.
Ich muss mich einfach mehr mit solchen Aufgaben beschäftigen, damit ich die "Lösungstechnik" besser beherrschen kann...
mfg Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Astor |
Schachschorsch,
was steht denn eigentlich im Heft?
Was wurde in der Schule besprochen?
Bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen, berechnet man die Stammfunktion der Differenzfunktion. Von Schnittstelle zu Schnittstelle. Weil man nicht immerüberprüfen will, ob die Differenzfunktion im betrachteten Intervall positiv ist, verwendet man den Betrag des Integrals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 15.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aufgabe aus Vorwissen/Integralaufgaben:
>
> Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen der Funktionen
> [mm]f(x)=x^3+x^2-x[/mm] und [mm]g(x)=2x^2+x[/mm]
>
> Nachdem ich mich beim Berechnen vieler kleiner Teilflächen
> total verrechnet hatte, sah ich ein, dass die mir gemachten
> Hinweise richtig waren !
>
> Jetzt meine Frage:
>
> Wenn man die Differenzfunktion d(x) mit f(x)-g(x) gebildet
> hat und deren Stammfunktion D(x) mit den errechneten
> Intervallpunkten -1 und 2 in das Integral schreibt, kann
> man das dann so schreiben:
>
> [mm]\integral_{-1}^{2}{d(x) dx}=[D(x)]^2_{-1}=|D(2)|+|D(-1)|[/mm] ?
Fast. Die Integrationsgrenzen , also die Schnittpunkte der Funktionen f und g (das sind ja dann die Nullstellen der Differenzfunktion d) sind korrekt. Aber:
[mm] A=\left|\integral_{-1}^{2}d(x)dx\right|=\left|[D(x)]^2_{-1}\right|=|D(2)\red{-}D(-1)|
[/mm]
Es gilt ja: [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
[/mm]
>
> Für [mm]D(x)=\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{3}x^3-x^2[/mm] habe ich als
D(x) ist korrekt
> Ergebnis der gesuchten Fläche [mm]\bruch{37}{12}[/mm] raus.
Das passt dann leider nicht, da du wahrscheinlich + statt - gerechnet hast.
[mm] D(2)=-\bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] D(-1)=-\bruch{5}{12}
[/mm]
Also [mm] |D(2)-D(-1)|=\left|-\bruch{8}{3}+\bruch{5}{12}\right|=\bruch{9}{4}
[/mm]
>
> Ich muss mich einfach mehr mit solchen Aufgaben
> beschäftigen, damit ich die "Lösungstechnik" besser
> beherrschen kann...
>
> mfg Schorsch
>
Marius
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Danke für die Hilfe !
Jetzt kann ich mich an andere Aufgaben wagen. Das mit den negativen Flächen-Werten und den Beträgen habe ich jetzt verstanden.
mfg Schorsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Astor |
Genau so ist es.
Astor
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