Flächen zw. 2 Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 30.10.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | Wie groß ist die Fläche, die zwischen den Graphen von f und g in dem Intervall I liegt?
f(x)=2x² ; [mm] g(x)=\bruch{1}{2x²} [/mm] ; I=[0,5;2]
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g begrenzt wird?
[mm] f(x)=-x^4+4x²; [/mm] g(x)=x²+2x
Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von f, der Tangente in P und der x-Achse?
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x²; [/mm] P(3|4,5) |
Hallo,
bis jetzt hab ich für die erste Aufgabe folgendes gerechnet;
[mm] 2x²=\bruch{1}{2x²} [/mm] | -2x²
[mm] 0=\bruch{1}{2x²}-2x²
[/mm]
[mm] \integral_{0,5}^{2}{(\bruch{1}{2x²}-2x²)dx} [/mm] = (->Aufleitung) [mm] [\bruch{2}{-3}x^-3-\bruch{2}{3}x^3]_{0,5}^{2}
[/mm]
[mm] A=(\bruch{2}{-3}*2^{-3}-\bruch{2}{3}*2^3)-(\bruch{2}{-3}*0,5^{-3}-\bruch{2}{3}*0,5^3)
[/mm]
= [mm] -\bruch{65}{12} [/mm] - [mm] (-\bruch{65}{12}) [/mm]
= 0 ?!
Zur zweiten Aufgabe, hab ich folgendes;
[mm] -x^{4}+4x²=x²+2x|+x^4-4x²
[/mm]
[mm] 0=x^4-3x²+2x
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=0
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}(x4-3x²+2x) [/mm] dx = [mm] A_{1}[\bruch{1}{5}x^5-x^3+x²]_{-1}^{0}+
[/mm]
[mm] A_{2}[\bruch{1}{5}x^5-x^3+x²]_{0}^{1}=
[/mm]
[mm] A_{1}[\bruch{1}{5}*.1-(-1^3)+(-1²)]+A_{2}[\bruch{1}{5}*1^5-1^3+1²]=2?!
[/mm]
Zur letzten hab ich folgendes;
1.Die Tangentengleichung : g(x)=3x-4,5
2.Die Schnittstelle von der Tangente mit
der x-Achse
= g(x)=0
=> 3x-4,5=0
x=1,5
es fehlt nur noch die Flächenberechnung!
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann und meine bisherigen Rechnungen berichtigt, bzw. mir sagen kann, was ich falsch gerechnet habe. Bei der letzten weiß ich jedoch ganz und gar nicht weiter!
mfg isger
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Hallo!
Bei der Flächenberechnung mußt du darauf achten, daß sich die Graphen ja auch schneiden können, und genau das passiert hier auch:
9 ++---+----+----+----+----+----+----+----+-+*
+ + + + + + + + +***
8 ++ ***++
| *** |
7 ++ *** ++
6 ++ *** ++
| *** |
5 ++ *** ++
| *** |
4 ++ **** ++
# **** |
3 ## **** ++
2 +### **** ++
| ### ***** |
1 ++ #****** ++
******* ################+ + + + |
0 ++---+----+----+----+---####################
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Du bekommst zwei solcher dreieckiger Flächen, und die eine hat nach den Regeln der Integralrechnung dann einen negativen Wert. Somit kannst du merkwürdige Ergebnisse bekommen. Die Lösung ist, daß du diesen Schnittpunkt s berechnen mußt, und dann eben zwei Integrale für beide Flächen berechnest, und deren Beträge hinterher addierst.
> bis jetzt hab ich für die erste Aufgabe folgendes
> gerechnet;
>
> [mm]2x²=\bruch{1}{2x²}[/mm] | -2x²
> [mm]0=\bruch{1}{2x²}-2x²[/mm]
Diese Gleichung mußt du nun lösen, um den Schnittpunkt zu bekommen!
>
> [mm]\integral_{0,5}^{2}{(\bruch{1}{2x²}-2x²)dx}[/mm] =
> (->Aufleitung)
> [mm][\bruch{2}{-3}x^-3-\bruch{2}{3}x^3]_{0,5}^{2}[/mm]
>
> [mm]A=(\bruch{2}{-3}*2^{-3}-\bruch{2}{3}*2^3)-(\bruch{2}{-3}*0,5^{-3}-\bruch{2}{3}*0,5^3)[/mm]
> = [mm]-\bruch{65}{12}[/mm] - [mm](-\bruch{65}{12})[/mm]
> = 0 ?!
Der Fehler liegt hier:
[mm] \int\bruch{1}{2x^2}=\int\bruch{1}{2}x^{-2}=\int\bruch{1}{2}*\bruch{1}{-1}x^{-1}
[/mm]
>
> Zur zweiten Aufgabe, hab ich folgendes;
>
> [mm]-x^{4}+4x²=x²+2x|+x^4-4x²[/mm]
> [mm]0=x^4-3x²+2x[/mm]
>
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=-1[/mm]
> [mm]x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}(x4-3x²+2x)[/mm] dx =
> [mm]A_{1}[\bruch{1}{5}x^5-x^3+x²]_{-1}^{0}+[/mm]
> [mm]A_{2}[\bruch{1}{5}x^5-x^3+x²]_{0}^{1}=[/mm]
>
> [mm]A_{1}[\bruch{1}{5}*.1-(-1^3)+(-1²)]+A_{2}[\bruch{1}{5}*1^5-1^3+1²]=2?![/mm]
>
Sieht eigentlich OK aus, aber was sind diese A's?
> Zur letzten hab ich folgendes;
>
> 1.Die Tangentengleichung : g(x)=3x-4,5
>
> 2.Die Schnittstelle von der Tangente mit
> der x-Achse
> = g(x)=0
> => 3x-4,5=0
> x=1,5
>
Nun mußt du auch hier zwei Integrale berechnen: Einmal nur über f(x) von 0 bis 1,5, denn da ist die untere Begrenzung der Fläche ja die x-Achse, und einmal über f(x)-g(x) von 1,5 bis 4,5.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 30.10.2008 | | Autor: | Isaak |
Hey,
bei der 1.Aufgabe hab ich nun 6,25 als Flächeninhalt raus.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich bei der Aufgabe den oder die Schnittpunkte bestimmen kann!
bei der 2. Aufgabe stehen die A's für den Flächeninhalt!
bei der letzen hab ich 16,875 raus!
Wenn etwas falsch ist, wäre es nett, wenn es jemand erklären könnte!
mfg isger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Do 30.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> bei der 1.Aufgabe hab ich nun 6,25 als Flächeninhalt raus.
und wie hast du gerechnet?
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich bei der Aufgabe den oder
> die Schnittpunkte bestimmen kann!
Gleichsetzen der Funktionsterme, wie Event_Horizon es gezeigt hat:
$ [mm] 2x²=\bruch{1}{2x²} [/mm] $ | -2x²
$ [mm] 0=\bruch{1}{2x²}-2x² [/mm] $
Diese Gleichung mußt du nun lösen, um den Schnittpunkt zu bekommen!
> bei der 2. Aufgabe stehen die A's für den Flächeninhalt!
Hier mußt du stückweise integrieren, von -1 bis 0 und dann von 0 bis 1!
LG
Will
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