Flächen oberhalb & unterhalb < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Funktion f(c)=x³-cx-1; a=0; b=2 hat bei geeigneter Wahl vonc im Intervall [a;b] genau eine Nullstelle x0. Der Graph von fc, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=a und x=b begrenzen eine Fläche, die aus zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so, dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben. |
Hallo!
Muss ich hier einfach a und b für x einsetzen und dann hab ich mein Integral?
|
|
| |
|
Hallo,
wir haben eine Nullstelle [mm] x_0, [/mm] somit hast du das Integral von 0 bis [mm] x_0 [/mm] und das Integral von [mm] x_0 [/mm] bis 2, die 1. Fläche liegt unterhalb der x-Achse, wir müssen das Integral in Betragsstriche setzen oder ein minus davor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] -\integral_{0}^{x_0}{x^{3}-cx-1 dx}=\integral_{x_0}^{}{x^{3}-cx-1 dx}
[/mm]
die Auflösung bringt dein c, hast du c, so kannst du die Nullstelle berechnen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Was ist den xO? was muss ich dafür einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo, ich hatte es vorhin ja schon gesagt, [mm] x_0 [/mm] ist deine Nullstelle, im Moment kennst du sie noch nicht, [mm] x_0 [/mm] ist somit auch eine untere bzw. obere Grenze, rechne damit, als wenn es eine Zahl wäre, also einsetzen, du wirst merken es passiert etwas wunderbares, Überraschung, und somit kommst du dann an dein c,
Steffi
|
|
|
| |
|
Dann rechne ich wie folgt:
[mm] |\integral_{0}^{x0}{F= 1/4 x^4- 1/2cx²}| [/mm] = [mm] \integral_{x0}^{2}{F= 1/4 x^4- 1/2cx²}
[/mm]
setze ein
[mm] \integral_{0}^{x0}{(F= 1/4 x0^4- 1/2cx0²)-(0)}= \integral_{x0}^{2}{(F= 1/4*(2)^4- 1/2c(2)²)-(F= 1/4 x0^4- 1/2cx0²)}
[/mm]
dumme frage: fällt x0 weg?
|
|
|
| |
|
Hi,
also wir haben die gleiche Aufgabe als hausuafgabe aufbekommen und ich habe mMn einen eleganteren Weg gefunden und zwar so:
du hast wie schon beschrieben, die beiden integrale, da die Flächen gleich groß sein sollen und oberhalb sowie unterhalb der x-Achse liegen, kannst du die intervalladditivität des Integrals ausnutzen, denn:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
In deinem Fall:
[mm] \integral_{0}^{x_{0}}{f(x) dx}+\integral_{x_{0}}^{2}{f(x) dx} [/mm] . Da die Flächen - wie schon gesagt oberhalb und unterhalb liegen UND gleich groß sind, kannst du das zusammenfassen:
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}=0 [/mm]
Wie schon beschrieben gleich Null, wegen oberhalb und unterhalb,dann bekommst du c=1 heraus.
Lg :)
|
|
|
|
