Flächen im Raum < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:18 Mo 14.02.2005 | | Autor: | denker |
hallo alle zusammen!
Ich Schreibe eine Facharbeit zum Thema Flächen im raum und benötige jegliche infos dazu die ihr habt!
Ich habe schon viel Material zur Integralrechnung gesammelt das ich dann ebeverfügung stellen kann!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo denker!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo alle zusammen!
> Ich Schreibe eine Facharbeit zum Thema Flächen im raum und
> benötige jegliche infos dazu die ihr habt!
> Ich habe schon viel Material zur Integralrechnung gesammelt
> das ich dann ebeverfügung stellen kann!
Ehrlich gesagt kann ich mir unter deinem Thema nicht allzu viel vorstellen. Vielleicht kannst du mal die genaue Formulierung des Themas angeben? Oder zumindest sagen, was du dir unter diesem Thema vorstellst.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:28 Di 15.02.2005 | | Autor: | denker |
hallo,
genau befasst sich diese facharbeit mit der Betrachtung von Flächen im Raum und der berechnung des inhalts dieser Flächen!
Grüße denker
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Hallo,
ich finde deine Formulierung auch sehr allgemein.
Wenn du keine genaueren Vorgaben von deinem Lehrer hast, was du betrachten sollst, dann hast du sicherlich eine Anzahl von Seiten, die deine Arbeit umfassen soll.
Dann kannst du dir ja einfach überlegen was dir am meisten zusagt und
dann nochmal konkreter die Frage stellen, denn der Raum könnte 2 dimensional,
3 dimensional oder n dimensional sein.
??
Als Beispiele wäre z.B. die Betrachtung von Schnittflächen von verschiedenen
Flächen oder aber du könntest dir Oberflächen von Rotationskörpern wählen etc.
Der Phantasie sind da wenig Grenzen gesetzt und Hilfe bekommst du hier
mit einer konkreten Frage auch auf jeden Fall.
Gruß
marthasmith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 15.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Meinst du die Oberfläche von 3-dimensionalen Körpern also Kugel, Kegel Zylinder und dergl.? oder Oberflächen, die durch Rotation des Graphen einer Funktion gegeben sind , Oder Niveauflächen von 3-d Funktionen?
Meine Fragen sind jetzt konkret, mindestens so konkret sollte deine Antwort sein, sonst sind Hilfen unmöglich. Und nach den Forenregeln solltest du dann sagen, was du schon weisst und nicht so algemein"jede Menge über Integrale"
(in der Mathe gibt es auch leere Mengen)
Gruss leduart
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Hallo!! Ich habe genau die gleiche Facharbeit wie "denker" !!! flächen im Raum der Form z=f(x,y) ! Zum einen soll ich "besondere" flächen mit excel darstellen und ich soll mehrere oberflächenberechnungsmöglichkeiten zu papier bringen! besondere flächen.. für mich vielleicht... kugeln!? periodische und symmetrische sachen...!? (VORSCHLÄGE!!!) und zur berechnung muss es was mit diesem Doppelintegral auf sich haben!! Also wär nett wenn mich jemand anschreibt oder so!! mein Forumeintrag ist : https://matheraum.de/read?i=63650 !!
und meine Emailadresse: tobi.eilers@lycos.de
meine ICQ-Nummer: 271-531-100
Danke .. tobias eilers
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bitte lese dir mal in Ruhe unsere Forenregeln durch. Dir wird auffallen, dass wir zu Facharbeiten Regeln aufgestellt haben, die mit deinen Fragen nicht konsistent sind. Bitte stelle zu deinem Thema ganz konkrete Fragen zu ganz konkreten Beweisschritten/Rechnungen.
Nichtsdestotrotz werde ich dir gleich eine kleine Antwort mit einem Beispiel schreiben, damit du weißt, worum es ungefähr geht. Unter diesen Stichworten solltest du dann mal suchen.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es sei allgemein
[mm] $\gamma: T\subset \IR^2 \to \IR^3$ [/mm]
ein hinreichend oft differenzierbares $2$-dimensionales Flächenstück, wobei $T$ offen und konvex sei.
Dann heißt die Zahl
[mm] $A(\gamma):=\int\limits_T \sqrt{G( \frac{\partial \gamma(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial \gamma(x)}{\partial x_2})}\, [/mm] dx$
das Oberflächenmaß des Flächenstücks, wobei
[mm] $G(a_1,a_2) [/mm] = [mm] \det \pmat{ \langle a_1,a_1 \rangle & \langle a_1,a_2 \rangle \\ \langle a_2,a_1 \rangle & \langle a_2,a_2 \rangle }$
[/mm]
die sogenannte Gramsche Determinante ist.
Ist nun speziell
[mm] $\gamma(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (x_1,x_2,f(x_1,x_2))$
[/mm]
mit [mm] $(x_1,x_2) \in [/mm] T$ die Fläche eines (differenzierbaren) Graphen, so folgt für die Gramsche Determinante:
$G( [mm] \frac{\partial \gamma(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial \gamma(x)}{\partial x_2}) [/mm] = [mm] \det \pmat{ \left\langle \pmat{1 \\ 0 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}},\pmat{1 \\ 0 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}} \right\rangle & \left\langle \pmat{1 \\ 0 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}},\pmat{0 \\ 1 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}} \right\rangle \\ \left\langle \pmat{0 \\ 1 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}},\pmat{1 \\ 0 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}} \right\rangle & \left\langle \pmat{0 \\ 1 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}},\pmat{0 \\ 1 \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}} \right\rangle } [/mm] = [mm] \det \pmat{ 1 + \left(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\right)^2 & \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} & 1 + \left(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\right)^2} [/mm] = 1+ [mm] \left( \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \right)^2 [/mm] + [mm] \left( \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} \right)^2$.
[/mm]
Man erhält also als Oberflächeninhalt hier
[mm] $A(\gamma) [/mm] = [mm] \int_T \sqrt{ 1+ \left( \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} \right)^2} d(x_1,x_2)$.
[/mm]
Beispiel:
Für [mm] $f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$ [/mm] erhält man:
[mm] $\frac{f(x_1,x_2)}{\partial x_1} [/mm] = - [mm] \frac{x_1}{\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{f(x_1,x_2)}{\partial x_2} [/mm] = - [mm] \frac{x_2}{\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}}$,
[/mm]
also:
[mm] $A(\gamma) [/mm] = [mm] \int\limits_{\{(x_1,x_2) \in \IR^2\, : \, x_1^2+x_2^2<1\}} \frac{1}{\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}}\, d(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 2\pi$,
[/mm]
wie man nach Umrechnen in Polarkoordinaten leicht ausrechnet.
Dies ist der "gewohnte" Wert für die Oberfläche der halben Einheitskugel.
Die Details überlasse ich dir, schließlich ist es deine Facharbeit und nicht meine.
Viele Grüße
Stefan
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