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| Aufgabe | Ich verstehe den Unterschied zwischen Flächen und Oberflächeninttegralen nicht ganz.
In der Theorie verstehe ich den Unterschied. Flächenintegrale werden über ebene Flächen [mm] (\IR^2) [/mm] integriert und Oberlächenitnegrale über Flächen im Raum [mm] (\IR).
[/mm]
Aber mathematisch kann ich den unterschied nicht ganz nachvollziehen. Ich versuche den Unterschied Anhang dieser Skizze zu verstehen:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Beim Flächenintegral wird über Das rechteck [mm] [0,a]\times[0,b] [/mm] integriert. Das folgende Integral
[mm] \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b}{1 dydy}
[/mm]
beschreibt die Fläche des orangen Rechtecks richtig?
Die Funktion z=f(x,y) soll dimensionslos sein. Das folgende Integral
[mm] \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b}{f(x,y) dydy}
[/mm]
beschreibt die blaue kurvige Fäche richtig?
Das ergebnis des Integrals ist eine kurvige Fläche, aber es handelt sich trotzdem um ein Flächenintegral weil über eine ebene Fläche [mm] [0,a]\times[0,b] [/mm] integriert wurde richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 21.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein zweites Integral ergibt nicht den flächeninhalt deiners Flächenstücks!
jedes Flächeneleven dxdy wird mit f(x,y) multipliziert und das alles aufaddiert. vielleicht stellst du dir unter f(x,y) etwas vor, z. b den Luftdruck an der stelle (x,y)
dann ist f(x,y)dxdy die Kraft suf das Flächenstück dxdy also das >Integral die Gesamtkraft auf die Grundfläche.
oder f(xy) ist die d
Flächenladungsdichte [mm] \sigma [/mm] an der Stelle (x,y) dann ergibt das Integral die GesamtjLadung der Grundfläche usw
die 1dxdy ist dann nur der Sonderfall dass die Dichte konstant =1 (Ladung/Fläche) ist.
Gruss leduart.
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Hallo,
Angenommen f(x,y), dx und dy haben die einheit Meter. Dann wäre das integral:
[mm] \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b}{f(x,y) dydy}
[/mm]
das Volumen des Körpers in der Abbildung richtig?
So jetzt soll f(x,y) dimensionlos sein. Nun ist das Ergebnis des Integral:
[mm] \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b}{f(x,y) dydy}
[/mm]
eine Fläche. Das müsste doch die blaue krumme fläche sein oder? weil das Produkt aus f(x,y) und der ebene Fläche dxdy verschiebt dxdy nach oben und deformeirt es.So stelle ich mir das zumindest vor.
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Hallo!
Nee, das ist zu einfach gedacht. Außerdem kannst du alleine anhand der Einheiten nicht darauf schließen, was der Wert denn nun genau beschreibt. (Ein Beispiel aus der Physik: Newtonmeter kann die Einheit für Energie sein, aber auch die für Drehmoment. Beides sind völlig unterschiedliche Dinge)
Du kannst ja mal die Dimension um 1 reduzieren.
[mm] $\int f(x)\,dx$
[/mm]
wenn dx die Einheit Meter hat, und f(x) auch, dann ergibt das Integral die Fläche unter der Kurve in [mm] $m^2$. [/mm] Wenn nun f(x) keine Einheit hat, dann wird daraus nicht die Länge der Kurve, die f(x) beschreibt. Anschaulich ist das immernoch sowas wie die Fläche unter der Kurve, wenngleich die Einheiten keine Fläche mehr sind. Auch hier ein Beispiel aus der Physik: In einem v-t-Diagramm kann man die zurückgelegte Strecke ermitteln, indem man die Fläche unter einer Kurve bestimmt. Obwohl das eine Fläche auf dem Blatt Papier ist, so sind die Einheiten doch [mm] \frac{m}{s} [/mm] für die y-Achse und [mm] $s_{}$ [/mm] für die x-Achse, zusammen ergibt das also [mm] $m_{}$.
[/mm]
Willst du die Länge der Kurve bestimmen, gehst du so vor:
Zeichne ein Steigungsdreieck an der Stelle x ein. Du weißt schon. Ein Schritt nach rechts, m=f'(x) Schritte nach oben. Die Hypothenuse hat dann die Länge [mm] $l=\sqrt{1^2+f'(x)^2}$. [/mm] Gehst du nur ein Stück dx zur Seite, hat die Hypothenuse die Länge [mm] $dl=\sqrt{1^2+f'(x)^2}*dx$. [/mm] Dies wird jetzt alles aufaddiert, also
[mm] $L=\int\sqrt{1^2+f'(x)^2}*dx$
[/mm]
Natürlich kannst du jetzt [mm] g(x)=\sqrt{1^2+f'(x)^2} [/mm] definieren, dann würde [mm] $\int g(x)\,dx$ [/mm] die Länge der Kurve f(x) ergeben. Dann hat g(x) tatsächlich keine Einheit, das Ergebnis hätte die Einheit Meter, und würde tatsächlich die Länge einer anderen Kurve beschreiben.
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Das heißt die blaue krumme Fläche kann ohne weiteres mit dem Flächenintegral nicht berechnet werden.
Um welche Fläche handelt es sich beim folgenden Oberflächenintegral:
[mm] \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b}{1*|f_x(x,y)\times f_y(x,y)|d(x,y)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 24.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies mal in wiki nach unter Oberflächenintegral.
[mm] f_x, f_y [/mm] sind skalare Funktionen, was soll das Kreuzprodukt beschreiben?
Es ist sinnlos einfach so rumzuraten, überleg erst mal 1 d wie berechnet man die Länge des Graphen von f(x) zwischen 2 Punkten. Dann überlege was das entsprechende in 2d ist, oder wie gesagt nimm ein Buch oder Skript und lese nach.
Gruß leduart
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