Fläche zwischen zwei Funktione < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen von f(x) = 1/4x² + 1 und g(x) = -1/4x²+ x über dem Intervall [1;2] |
Hallo lieber Community,
ich benötige Unterstützung bei der folgenden Aufgabe. Hier habe sie bis hierhin gelöst:
[mm] \integral_{1}^{2}{(1/4x²+1) dx} [/mm]
[1/12 x³ + x]2,1
Doch wie geht es nun weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Fläche zwischen den Graphen berechnest du mit:
[mm] A=\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)dx\right|-\left|\int\limits_{1}^{2}g(x)dx\right|
[/mm]
Da beide Graphen in dem Intervall oberhalb der x-Achse liegen, kann man die Betragsstriche weglassen, da die Integrale dann posotove Werte ergeben.
Also:
[mm] A=\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)dx\right|-\left|\int\limits_{1}^{2}g(x)dx\right|
[/mm]
[mm] =\int\limits_{1}^{2}f(x)dx-\int\limits_{1}^{2}g(x)dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{1}^{2}f(x)-g(x)dx
[/mm]
Mit den konkreten Funktionen:
[mm] A=\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{4}x^{2}+1\right)-\left(-\frac{1}{4}x^{2}+x\right)dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{2}x^{2}-x+1dx
[/mm]
Marius
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort, sie mich mich schon um einiges näher gebracht. Doch wie rechne ich nun weiter, wenn ich bis zum Punkt:
$ [mm] =\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{2}x^{2}-x+1dx [/mm] $
gekommen bin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort, sie mich mich schon um
> einiges näher gebracht. Doch wie rechne ich nun weiter,
> wenn ich bis zum Punkt:
>
> [mm]=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{2}x^{2}-x+1dx[/mm]
>
> gekommen bin?
Das Integral musst du mit den dir bekannten Mitteln lösen.
Marius
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Hier liegt ja das Problem, das ich vorhin angesprochen hatte. An diesem Punkt komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hier liegt ja das Problem, das ich vorhin angesprochen
> hatte. An diesem Punkt komme ich nicht weiter.
Ihr habt doch sicher den Begriff "Stammfunktion" schonmal gehört.
Dein Ansatz mit "[1/12 x³ + x]2,1" aus der ersten Frage war ja schon nicht so schlecht.
Du hast hier:
[mm] h(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+1
[/mm]
Also:
[mm] H(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+x=\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+x
[/mm]
Also:
$ [mm] =\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{2}x^{2}-x+1dx [/mm] $
$ [mm] =\left[\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+x\right]_{1}^{2} [/mm] $
$ [mm] \underbrace{\left[\frac{1}{6}\cdot 2^{3}-\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\right]}_{H(2)}-\underbrace{\left[\frac{1}{6}\cdot 1^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+1\right]}_{H(1)} [/mm] $
Nun wieder du.
Marius
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Danke für diese ausführliche Erklärung! Muss ich die beiden Klammern am Ende jetzt subtrahieren? Wenn ja, dann müsste 2/3 das Ergebnis sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
> Danke für diese ausführliche Erklärung! Muss ich die
> beiden Klammern am Ende jetzt subtrahieren?
Ja.
> Wenn ja, dann müsste 2/3 das Ergebnis sein.
Ich komme auf \frac{8}{3}
$ \left[\frac{1}{6}\cdot 2^{3}-\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\right]-[\frac{1}{6}\cdot 1^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+1\right] $
=\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)
=\frac{8}{3}
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Sparrow |
Hmm Marius, also ich glaube, da hatte der Fragensteller mit 2/3 recht.
Ich denke, du hast beim Subtrahenten ein fehler und es heißt hier:
4/3 - 2/3 = 2/3
Bin nur drüber gestolpert, falls ein Fehler in meiner Antwort vorliegt, dann einfach sagen.
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Hallo Sparrow,
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> Hmm Marius, also ich glaube, da hatte der Fragensteller mit
> 2/3 recht.
>
> Ich denke, du hast beim Subtrahenten ein fehler und es
> heißt hier:
>
> 4/3 - 2/3 = 2/3 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bin nur drüber gestolpert, falls ein Fehler in meiner
> Antwort vorliegt, dann einfach sagen.
Gut gestoplert bzw. aufgepasst 
Kann passieren ...
Gruß
schachuzipus
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