Fläche unter Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich habe wiedermal einige Fragen, die mir hoffentlich jemand beantworten könnte. Mein größtes Problem sind ,,Flächen unter Kurven" Ich gebe einfach mal einige Beispiele mit Fragen:
1) [mm] {f(x)}=e^{-\bruch{1}{2}x}(x^{2}-4)
[/mm]
Punkte: A(-2/0), B(x/0) und C(x/f(x)
Aufgabe: Größtmögliches Dreieck finden
Als erstes bräuchte man die Hauptbedingung. Da habe ich keine Probleme, da das eig. immer das einfachste ist:
$ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Dann die Nebenbedigungen:
b = f(x) -> Verständlich
$ a \ = \ x-(-2) $ -> Hier ist genau das Problem. Ich versteh einfach nicht, wie man auf diese Bedinungen kommt.
Was wäre denn, wenn es diese 3 Punkte, die ich oben genannt haben, überhaupt gar nicht gäbe? Wäre dann die Nebenbedinung anders? Ginge das Lösen dann überhaupt noch?
2) [mm] e^{-\bruch{1}{2}x}(x^{2}-2x)
[/mm]
Punkte: A (0/0), B(x/0), C=(x/f(x))
Aufgabe: größtmögliches Dreieck
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingungen:
b = -f(x) -> verstanden
a = x -> warum diesmal nur x? Als ich die Hausaufgabe gemacht habe, habe ich 2-x geschrieben. Die Fragen wiederholen sich eig. wie bei Nr. 1:
Was wäre denn, wenn es diese 3 Punkte, die ich oben genannt haben, überhaupt gar nicht gäbe? Wäre dann die Nebenbedinung anders? Ginge das Lösen dann überhaupt noch?
3) f(x)= [mm] e^{-x}
[/mm]
Punkte: keine
Aufgabe: größtmögliches Dreieck
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
b = f(x) -> verständlich
a = x -> hier wieder x, was ich wieder nicht verstehe und die Fragen sich oben wiederholen.
Ich denke, diese Beispiele reichen erst mal aus. Ich habe dann aber noch einige Fragen:
Was wäre, wenn es kein Dreieck sondern ein größtmögliches Rechteck wäre. Bräuchte man dort dann auch Punkte oder ginge es einfach so mit einer Funktion und dann die Nebenbedingungen irgendwie rausfinden. Das gleiche giltet dann auch für das Trapez etc. . Ginge das denn? Und falls ja, wie müssten dann die Bedingungen sein bzw. wie würde man dann am besten anfangen?
Was wäre denn, wenn nicht das größtmögliche Dreieck sondern das kleinstmögliche Dreieck gefragt wäre (ich glaube, das ist eine sehr dumme Frage :D) Könnte man das denn auch irgendwie ausrechnen? Das giltet natürlich für ein Rechteck etc. genau das selbe.
Ich hoffe, jemand kann mir mit den ganzen Fragen helfen, denn ich will mich super auf die Klausur vorbereiten. Es wäre natürlich super, wenn mir es jemand grafisch darstellen könnte, damit ich das zu 100% verstehe (muss aber natürlich nicht sein) - Ein Dankeschön schon mal im vorraus.
Crashday
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Fr 22.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Halihalo,
>
> ich habe wiedermal einige Fragen, die mir hoffentlich
> jemand beantworten könnte. Mein größtes Problem sind
> ,,Flächen unter Kurven" Ich gebe einfach mal einige
> Beispiele mit Fragen:
>
> 1) [mm]{f(x)}=e^{-\bruch{1}{2}x}(x^{2}-4)[/mm]
> Punkte: A(-2/0), B(x/0) und C(x/f(x)
> Aufgabe: Größtmögliches Dreieck finden
>
> Als erstes bräuchte man die Hauptbedingung. Da habe ich
> keine Probleme, da das eig. immer das einfachste ist:
> [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Dann die Nebenbedigungen:
> b = f(x) -> Verständlich
> [mm]a \ = \ x-(-2)[/mm] -> Hier ist genau das Problem.
Die Grundseite des Dreiecks, das du hast, lieft auf der x-Achse und beginnt dort am Punkt A(-2/0) und endet im Punkt B(x/0). Und der Abstand zwischen A und B ist eben x+2=x-(-2).
> Ich versteh einfach nicht, wie man auf diese Bedinungen kommt.
> Was wäre denn, wenn es diese 3 Punkte, die ich oben
> genannt haben, überhaupt gar nicht gäbe?
> Wäre dann die Nebenbedinung anders?
Yep.
> Ginge das Lösen dann überhaupt noch?
Das kommt auf die Aufgabe an. Kannst du evtl die Nullstellen bestimmen, bekommst du unter Umständen die nötigen Bedingung(en) für die wie auch immer geartete Zielfunktion zusammen.
>
> 2) [mm]e^{-\bruch{1}{2}x}(x^{2}-2x)[/mm]
> Punkte: A (0/0), B(x/0), C=(x/f(x))
> Aufgabe: größtmögliches Dreieck
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingungen:
> b = -f(x) -> verstanden
> a = x -> warum diesmal nur x? Als ich die Hausaufgabe
> gemacht habe, habe ich 2-x geschrieben. Die Fragen
> wiederholen sich eig. wie bei Nr. 1:
Die Grundseite des Dreiecks geht hier nur vom Ursprung bis B.
>
> 3) f(x)= [mm]e^{-x}[/mm]
> Punkte: keine
> Aufgabe: größtmögliches Dreieck
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> b = f(x) -> verständlich
> a = x -> hier wieder x, was ich wieder nicht verstehe und
> die Fragen sich oben wiederholen.
Woher hast du a=x? Hier fehtl der Startpunkt, so dass man hier in der Tat erstmal nichts für a finden könnte. Anders sähe es aus, wenn z.B. das Dreieck nur im ersten Quadranten liegen soll. Dann könnte man in der Tat auf a=x stossen.
> Was wäre, wenn es kein Dreieck sondern ein
> größtmögliches Rechteck wäre. Bräuchte man dort dann
> auch Punkte oder ginge es einfach so mit einer Funktion und
> dann die Nebenbedingungen irgendwie rausfinden.
Das funktioniert genauso, du gehst nur von [mm] A_{Rechteck}=a*b [/mm] aus und suchst aus den Angaben in der Aufgabe wieder Bedingungen für a und b.
> Das gleiche giltet dann auch für das Trapez etc. . Ginge das denn?
Klar, nur brauchst du bei [mm] A_{\text{Trapez}}=\bruch{(a+c)*h}{2} [/mm] eben Bedingungen für die Parallelen Seiten a und c sowie die Höhe h.
> Und falls ja, wie müssten dann die Bedingungen sein bzw. wie
> würde man dann am besten anfangen?
Mit einer Skizze, in der man sich die Aufgabenstellung klar macht und eventuell nötige Bezeichnungen festlegt.
>
> Was wäre denn, wenn nicht das größtmögliche Dreieck
> sondern das kleinstmögliche Dreieck gefragt wäre (ich
> glaube, das ist eine sehr dumme Frage :D)
Das kleinstmögliche Dreieck geht auch, klar. Du musst nur aufpassen, dass das Ganze nicht zu einem Punkt zusammenschrumpft, der mathematisch gesehen auch ein Dreieck sein kann, eben mit dem Flächeninhalt 0.
> Könnte man das denn auch irgendwie ausrechnen?
Sicher doch. Du hast doch gelernt, was die hinreichende Bedingung für Tiefpunkte ist. Du musst das sogar prüfen, manchmal bekommt man bei Extremwertaufgaben mehrere Kandidaten für Extremstellen, daraus musst du dann eben die Extermstelle suchen, die den Maximalen (oder falls gefordert auch den Minimalen) Funktionswert der Zielfunktion ergibt.
Ein Beispiel für eine Minimalrechnung:
Du hast eine zylindrische Coladose zu entwerfen, die 0,33l fassen soll, und aus möglichst wenig Material hergestellt werden soll.
> Das giltet natürlich für ein Rechteck etc. genau das selbe.
P.S.: Es heisst "es gilt"
>
> Ich hoffe, jemand kann mir mit den ganzen Fragen helfen,
> denn ich will mich super auf die Klausur vorbereiten. Es
> wäre natürlich super, wenn mir es jemand grafisch
> darstellen könnte, damit ich das zu 100% verstehe (muss
> aber natürlich nicht sein)
Das versuche du mal. Nimm dir einen Funktionsplotter (![[]](/images/popup.gif) Funkyplot z.B.) und zeichne im Fall 1) mal f(x), die Gerade x=-2 sowie die Geraden x=-1, x=0, x=1 ein. Dann solltest du auch das gesuchte Dreieck erkennen.
- Ein Dankeschön schon mal im
> vorraus.
>
> Crashday
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Crashday |
So, ich bin es wieder.
Ich habe mir jetzt willkürlich einige Beispiele aufgeschrieben und wollte die mal testen, ob ich das richtig gemacht habe (ohne irgendwelche Funktionen).
1) Definitionsbereich (0;7)
Dreieck unter der x-Achse
Punkte: A(7/0);B(x/0);C(x/f(x))
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 7-x
b = -f(x)
2) Definitionsbereich (0;7)
Dreieck über der x-Achse
Punkte: A(7/0);B(x/0);C(x/5) -> geht sowas überhaupt beim Punkt C?
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 7-x
b = 5
3) Definitionsbereich (-2;2)
Dreieck unter der x-Achse
Punkte: A(-2/0);B(x/0);C(x/f(x))
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 2+x
b = -f(x)
4) Definitionsbereich (-5;8)
Dreieck über der x-Achse
Punkte: A(-5/0);B(x/0);C(x/f(x))
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 5+x
b = f(x)
5) Definitionsbereich (-3;1)
Dreieck über der x-Achse
Punkte: A(-3/0);B(x/0);C(x/f(x))
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 3+x
b = f(x)
6) Definitionsbereich (2;8)
Dreieck unter der x-Achse
Punkte: A(2/0);B(x/0);C(x/f(x))
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = x-2
b = -f(x)
7) Definitionsbereich (-2;8)
Dreieck unter der x-Achse
Punkte: A(8/0);B(x/0);C(x/-9) --> geht es hier auch beim Punkt C?
Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
Nebenbedingung:
a = 8-x
b = -9
So ich denke, dass sind genug Beispiele. Mich würde es einfach interessieren, ob ich das alles richtig gerechnet habe :)
Und dann hab ich noch eine Frage zu dem:
>
> 3) f(x)= $ [mm] e^{-x} [/mm] $
> Punkte: keine
> Aufgabe: größtmögliches Dreieck
>
> Hauptbedingung: $ [mm] A_{\text{Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b [/mm] $
>
> Nebenbedingung:
> b = f(x) -> verständlich
> a = x -> hier wieder x, was ich wieder nicht verstehe und
> die Fragen sich oben wiederholen.
> Woher hast du a=x? Hier fehtl der Startpunkt, so dass man hier in der Tat erstmal nichts für a finden könnte. Anders sähe es aus, wenn z.B. das Dreieck nur im ersten Quadranten liegen soll. Dann könnte man in der Tat auf a=x stossen.
Das Dreieck liegt im 1. Quadranten. Meine Vermutung. Die Höhe wäre bei der y-Achse und der A-Punkt wäre bei (0/0). Da es nur im 1. Quadranten liegt, geht es nach rechts auf der x-Achse. Deshalb lautet die Nebenbedingung:
a = 0 + x = a = x
b = f(x)
Stimmt das auch? Wäre nett, wenn mich jemand aufklären könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest deine punkte eigentlich immer in einem Koordinatensyst. skizzieren, dabei für f(x) irgendwas nicht grad gerades, und x an 2 stellen versuchen.
> Ich habe mir jetzt willkürlich einige Beispiele
> aufgeschrieben und wollte die mal testen, ob ich das
> richtig gemacht habe (ohne irgendwelche Funktionen).
>
> 1) Definitionsbereich (0;7)
> Dreieck unter der x-Achse
> Punkte: A(7/0);B(x/0);C(x/f(x))
Unter der x-Achse geht als Bed. nur, wenn f(x) negativ ist.
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 7-x
> b = -f(x)
das ist nur sinnvoll wenn f(x) neg, ist.
> 2) Definitionsbereich (0;7)
Warum hört dein Def. Gebiet immer bei A auf?
> Dreieck über der x-Achse
> Punkte: A(7/0);B(x/0);C(x/5) -> geht sowas überhaupt
nein, das Dreieck ist nie unter der x-Achse
> beim Punkt C?
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 7-x
> b = 5
keine sinnvolle Aufgabe aber so richtig
> 3) Definitionsbereich (-2;2)
> Dreieck unter der x-Achse
siehe oben
> Punkte: A(-2/0);B(x/0);C(x/f(x))
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 2+x
> b = -f(x)
>
> 4) Definitionsbereich (-5;8)
> Dreieck über der x-Achse
> Punkte: A(-5/0);B(x/0);C(x/f(x))
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 5+x
> b = f(x)
>
> 5) Definitionsbereich (-3;1)
> Dreieck über der x-Achse
> Punkte: A(-3/0);B(x/0);C(x/f(x))
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 3+x
> b = f(x)
>
> 6) Definitionsbereich (2;8)
> Dreieck unter der x-Achse
siehe oben
> Punkte: A(2/0);B(x/0);C(x/f(x))
>
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = x-2
> b = -f(x)
>
> 7) Definitionsbereich (-2;8)
> Dreieck unter der x-Achse
> Punkte: A(8/0);B(x/0);C(x/-9) --> geht es hier auch
> beim Punkt C?
hier ja
> Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> a = 8-x
> b = -9
nein b ist ne Länge also b=9
> So ich denke, dass sind genug Beispiele. Mich würde es
> einfach interessieren, ob ich das alles richtig gerechnet
> habe :)
>
> Und dann hab ich noch eine Frage zu dem:
> >
> > 3) f(x)= [mm]e^{-x}[/mm]
> > Punkte: keine
> > Aufgabe: größtmögliches Dreieck
das ist keine vollständige Aufgabe, also so nicht lösbar
> > Hauptbedingung: [mm]A_{\text{Dreieck}} \ = \ \bruch{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b[/mm]
>
> >
> > Nebenbedingung:
> > b = f(x) -> verständlich
> > a = x -> hier wieder x, was ich wieder nicht verstehe und
>
> > die Fragen sich oben wiederholen.
>
> > Woher hast du a=x? Hier fehtl der Startpunkt, so dass man
> hier in der Tat erstmal nichts für a finden könnte.
> Anders sähe es aus, wenn z.B. das Dreieck nur im ersten
> Quadranten liegen soll. Dann könnte man in der Tat auf
> a=x stossen.
> Das Dreieck liegt im 1. Quadranten. Meine Vermutung. Die
> Höhe wäre bei der y-Achse und der A-Punkt wäre bei
> (0/0). Da es nur im 1. Quadranten liegt, geht es nach
> rechts auf der x-Achse. Deshalb lautet die Nebenbedingung:
> a = 0 + x = a = x
> b = f(x)
>
> Stimmt das auch? Wäre nett, wenn mich jemand aufklären
> könnte.
Da müsste man den wirklichen Text der Aufgabe wissen.
Denk dir aufgaben nicht zu willkürlich aus, die oben sind alle fast gleich, so dass du fast nichts lernst.
aber soweit dus aufgeschrieben hast ist alles richtig, nur mit ner kleinen Skizze kannst du auch wenns nicht genau so kommt wie oben arbeiten.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Crashday |
Okay, vielen Dank für das Nachgucken. Ich denke, das Grundprinzip habe ich verstanden. Die Aufgabe sind eigentlich fast alle gleich, weil wir eig. nur so gearbeitet haben und nie jetzt ganz andere Aufgaben bekommen haben. Naja, hauptsache habe ich es nun verstanden. Vielen Dank euch beiden :)
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