Fläche ausrechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 19.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von [mm] f(x)=-x^{2}+6x-8 [/mm] und der x-Achse. |
Hallo^^
ich hab irgendwie Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich brauche ja zunächst ein Intervall,das wären in diesem Fall die Nullstellen von,also (.../0) und (..../0).Aber ich hab ja gar keine x-Werte.
Wie kann ich denn hier die x-Werte rauskriegen oder muss ich hier mit allgemeinen Werten rechnen ?
lg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 19.08.2008 | | Autor: | MiMa90 |
Guten tag!
Das ist doch ganz einfach! Du musste einfach die Nullstellen wie in der Kurvendiskussion bestimmen.
Da der graph die X-Achse an der Stelle schneidet, an der der y-WErt null ist musst du einfach die Funktion 0 setzen:
0=-1x²+6x-8 |:(-1)
0=x²-6+8
Und wenn du dich nun etwas zurück errinerst, wirst du merken, dass du nun einfach die PQ-Formel andwenden kannst....
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy,
> Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von
> [mm]f(x)=-x^{2}+6x-8[/mm] und der x-Achse.
> Hallo^^
>
> ich hab irgendwie Probleme mit dieser Aufgabe.
> Ich brauche ja zunächst ein Intervall,das wären in diesem
> Fall die Nullstellen von,also (.../0) und (..../0).Aber ich
> hab ja gar keine x-Werte.
> Wie kann ich denn hier die x-Werte rauskriegen oder muss
> ich hier mit allgemeinen Werten rechnen ?
Na, wie berechnest du denn üblicherweise die Nullstellen einer Funktion?
Doch, indem du den Funktionsterm =0 setzt.
So auch hier:
[mm] $f(x)=-x^2+6x-8=0 \qquad \mid\cdot{}(-1)$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2-6x+8=0$
[/mm]
Nun entweder quadratische Ergänzung machen oder mit der p/q-Formel zuschlagen.
Damit bekommst du deine beiden Nullstellen [mm] $x_1, x_2$, [/mm] die die Grenzen für dein zu bestimmendes Integral bilden.
Berechne dann [mm] $\int\limits_{x_1}^{x_2}{f(x) \ dx}$
[/mm]
>
> lg
> [Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 19.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ach,stimmt ja,ich glaub ich denk manchmal zu kompliziert,so dass ich die an die einfachsten Dinge gar nicht denke ^^
Ich hab dann also mein Inervall [2;4].
Ich kann ja aber immer noch nicht den Inhalt ausrechnen,also würd ich mal den "Verschiebungstrick" anwende,also die Funktion so um 2 Einheiten nach links verschiebe,dass sie bei 0 anfängt.Grafisch kann ich mir das vorstellen,aber ich weiß nicht was sich dann genau an der Funktion [mm] f(x)=-x^{2}+6x-8 [/mm] ändert.Was muss ich denn dann rechnen?
lg
|
|
|
| |
|
Hi Mandy!
Berechne [mm] \integral_{2}^{4}{(-x^{2}+6x-8) \ dx}
[/mm]
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Di 19.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
[mm] \integral_{2}^{4}{-x^{2}+6x-8 dx} [/mm] So muss es heissen. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 19.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich habs jetzt einfach mal ausgerechnet.Ist der Flächeninhalt dann 6 [mm] \bruch{2}{3}?
[/mm]
Wenn du den lösungsweg brauchst,schreib ich ihn gern nochmal auf ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Di 19.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Also bei dem Integral, was ich dir eben aufgeschrieben habe kommt 4/3 raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich komm als nicht drauf,kannst du mir vielleicht zeigen wie du auf das Ergebnis kommst???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:51 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Also ich gehe vom folgenden Standpunkt aus: Wir berechnen also die Fläche, welche von der Funktion f(x)= [mm] -x^{2}+6x-8 [/mm] und der x- Achse eingeschlossen wird.
1.) Wir subtrahieren x von f(x): f(x)-x [mm] \Rightarrow -x^{2}+5x-8
[/mm]
2.) Wir normieren die neue Gleichung, indem wir mit (-1) multiplizieren: Dann haben wir die folgende Funktion: [mm] f(x)_{neu}=x^{2}-5x+8
[/mm]
3.) Nun berechnen wir die Nullstellen von [mm] f(x)_{neu} [/mm] mittels pq- Formel, zur Bestimmung der Integrationsgrenzen.
4.) Zuletzt noch die Funktionen gemäß der Summenregel integrieren und eine berechnete Stammfunktion in den Betrag setzen.
5.) Den Betrag auflösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mi 20.08.2008 | | Autor: | XPatrickX |
> Also ich gehe vom folgenden Standpunkt aus: Wir berechnen
> also die Fläche, welche von der Funktion f(x)= [mm]-x^{2}+6x-8[/mm]
> und der x- Achse eingeschlossen wird.
>
> 1.) Wir subtrahieren x von f(x): f(x)-x [mm]\Rightarrow -x^{2}+5x-8[/mm]
>
> 2.) Wir normieren die neue Gleichung, indem wir mit (-1)
> multiplizieren: Dann haben wir die folgende Funktion:
> [mm]f(x)_{neu}=x^{2}-5x+8[/mm]
> 3.) Nun berechnen wir die Nullstellen von [mm]f(x)_{neu}[/mm]
> mittels pq- Formel, zur Bestimmung der
> Integrationsgrenzen.
Als kleine Hilfe: [mm] x_1= \frac{5}{2}-\frac{\wurzel{7}}{2}i$
[/mm]
[mm] x_2= [/mm] konjugiert komplex zu [mm] x_1
[/mm]
Damit sind wir im Universitätsstoff, ich denke das ist nicht der richtige Weg.
> 4.) Zuletzt noch die Funktionen gemäß der Summenregel
> integrieren und eine berechnete Stammfunktion in den Betrag
> setzen.
> 5.) Den Betrag auflösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:30 Mi 20.08.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> Also ich gehe vom folgenden Standpunkt aus: Wir berechnen
> also die Fläche, welche von der Funktion f(x)= [mm]-x^{2}+6x-8[/mm]
> und der x- Achse eingeschlossen wird.
>
> 1.) Wir subtrahieren x von f(x): f(x)-x [mm]\Rightarrow -x^{2}+5x-8[/mm]
Hallo,
Du schickst Dich hier an, den Flächeninhalt zwischen f und der Winkelhalbierenden h(x)=x zu berechnen, und nicht etwa zwischen f und der x-Achse.
Da f und die Winkelhalbierende keinen gemeinsamen Punkt haben, ist dieses Vorhaben zum Scheitern verurteilt.
Die Gleichung der x-Achse ist g(x)=0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:02 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Verzeihung! Natürlich muss man hier die 0 subtrahieren. Vielen Dank für deine Korrektur. Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
wir wollen den Flächeinhalt zwischen dem Graph der Funktion [mm] f(x)=-x^{2}+6x-8 [/mm] und der x-Achse berechnen. Dazu müssen als erstes die Schnittpunkte von f(x) mit der x-Achse bestimmt werden, diese sind 2 und 4.
Somit ist folgendes Integral zu berechnen: $ [mm] \integral_{2}^{4}{(-x^{2}+6x-8) \ dx} [/mm] $
$ [mm] \integral_{2}^{4}{(-x^{2}+6x-8) \ dx} [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}x^3+3x^2-8x$ [/mm] $ [mm] |\limits^4_2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}*4^3+3*4^2-8*4-(-\frac{1}{3}*2^3+3*2^2-8*2)= \frac{4}{3}$
[/mm]
Da ein bestimmtes Integral genau den orientieren (!) Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraph und der x-Achse berechnet, muss auch keine Funktion mehr subtrahiert werden.
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok danke,wenn ich das so rechne wie du es gezeigt hast,kommt das richtige raus,aber mit der Verschiebungmethode klappt das irgendwie nicht,ich weiß auch nicht warum.
Naja,so gehts ja auch...
lg =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mi 20.08.2008 | | Autor: | XPatrickX |
> ok danke,wenn ich das so rechne wie du es gezeigt
> hast,kommt das richtige raus,aber mit der
> Verschiebungmethode klappt das irgendwie nicht,ich weiß
> auch nicht warum.
[mm] \integral_{0}^{2}{-(x+2)^2+6(x+2)-8 dx} [/mm] = [mm] \frac{4}{3}
[/mm]
Allerdings würde ich mich gar nicht so auf die Verschiebungen konzentrieren. Ich denke es ist kein Problem ein Integral mit 2 Grenzen verschieden von 0 auszurechnen.
> Naja,so gehts ja auch...
>
Eben!
> lg =)
Grüße zurück
|
|
|
|
